ત્રિકોણ $ABC$ માં,જો $A = \frac{\pi}{4}$ અને $\tan B \tan C = K$ હોય,તો $K$ એ નીચેનામાંથી કઈ શરતનું પાલન કરવું જોઈએ?

ધારો કે એક ત્રિકોણ $ABC$ એ $2$ એકમ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળમાં અંતર્ગત છે. જો ખૂણા $A, B$ અને $C$ ના $3$ દ્વિભાજકોને લંબાવીને વર્તુળને અનુક્રમે $A_1, B_1$ અને $C_1$ માં છેદવામાં આવે,તો $\left[\frac{AA_1 \cos \frac{A}{2} + BB_1 \cos \frac{B}{2} + CC_1 \cos \frac{C}{2}}{\sin A + \sin B + \sin C}\right]^2$ નું મૂલ્ય શોધો.

$\Delta ABC$ માં,જો $\sin^2 \frac{A}{2}, \sin^2 \frac{B}{2}, \sin^2 \frac{C}{2}$ એ $H.P.$ માં હોય,તો $a, b, c$ શેમાં હશે?

$\triangle ABC$ માં સામાન્ય સંકેતો સાથે,જો $\angle B = \frac{\pi}{2}$ હોય,અને $\tan \frac{A}{2}, \tan \frac{C}{2}$ એ સમીકરણ $px^2 + qx + r = 0$,$p \neq 0$ ના બીજ હોય,તો:

સામાન્ય સંકેતો સાથે,$\triangle ABC$ માં,જો $a=2, b=3, c=5$ અને $\frac{\cos A}{a}+\frac{\cos B}{b}+\frac{\cos C}{c}=\frac{k+7}{30}$ હોય,તો $k=$

એક ત્રિકોણમાં,જો $r_1 = 2r_2 = 3r_3$ હોય,તો $\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}$ ની કિંમત શોધો.