Class 9MathematicsAreas of Parallelograms and TrianglesTextbook - Areas of Parallelograms and Triangles
Mediumઆકૃતિમાં,$ABC$ અને $ABD$ એ એક જ પાયા $AB$ પર આવેલા બે ત્રિકોણો છે. જો રેખાખંડ $CD$ એ $AB$ દ્વારા $O$ બિંદુએ દુભાગતો હોય,તો સાબિત કરો કે $\operatorname{ar}(ABC) = \operatorname{ar}(ABD)$.
(N/A) અહીં $\Delta ABC$ અને $\Delta ABD$ એક જ પાયા $AB$ પર આવેલા છે.
કારણ કે $CD$ એ $O$ બિંદુએ દુભાગે છે,તેથી $CO = DO$ થાય.
$\Delta ACD$ માં,$AO$ એ મધ્યગા છે કારણ કે તે બાજુ $CD$ ને બે સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરે છે $(CO = DO)$.
તેથી,$\operatorname{ar}(\Delta AOC) = \operatorname{ar}(\Delta AOD)$ (કારણ કે ત્રિકોણની મધ્યગા તેને સમાન ક્ષેત્રફળવાળા બે ત્રિકોણોમાં વિભાજિત કરે છે) $(1)$.
તે જ રીતે,$\Delta BCD$ માં,$BO$ એ મધ્યગા છે.
તેથી,$\operatorname{ar}(\Delta BOC) = \operatorname{ar}(\Delta BOD)$ $(2)$.
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા,આપણને મળે:
$\operatorname{ar}(\Delta AOC) + \operatorname{ar}(\Delta BOC) = \operatorname{ar}(\Delta AOD) + \operatorname{ar}(\Delta BOD)$
$\Rightarrow \operatorname{ar}(\Delta ABC) = \operatorname{ar}(\Delta ABD)$.
કારણ કે $CD$ એ $O$ બિંદુએ દુભાગે છે,તેથી $CO = DO$ થાય.
$\Delta ACD$ માં,$AO$ એ મધ્યગા છે કારણ કે તે બાજુ $CD$ ને બે સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરે છે $(CO = DO)$.
તેથી,$\operatorname{ar}(\Delta AOC) = \operatorname{ar}(\Delta AOD)$ (કારણ કે ત્રિકોણની મધ્યગા તેને સમાન ક્ષેત્રફળવાળા બે ત્રિકોણોમાં વિભાજિત કરે છે) $(1)$.
તે જ રીતે,$\Delta BCD$ માં,$BO$ એ મધ્યગા છે.
તેથી,$\operatorname{ar}(\Delta BOC) = \operatorname{ar}(\Delta BOD)$ $(2)$.
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા,આપણને મળે:
$\operatorname{ar}(\Delta AOC) + \operatorname{ar}(\Delta BOC) = \operatorname{ar}(\Delta AOD) + \operatorname{ar}(\Delta BOD)$
$\Rightarrow \operatorname{ar}(\Delta ABC) = \operatorname{ar}(\Delta ABD)$.
Explore More
Similar Questions
આકૃતિમાં,$ABCDE$ એક પંચકોણ છે. $B$ માંથી પસાર થતી અને $AC$ ને સમાંતર રેખા,$DC$ ને લંબાવતા $F$ બિંદુમાં મળે છે. સાબિત કરો કે:
$(i)$ $ar(ACB) = ar(ACF)$
$(ii)$ $ar(AEDF) = ar(ABCDE)$
$(i)$ $ar(ACB) = ar(ACF)$
$(ii)$ $ar(AEDF) = ar(ABCDE)$
Medium
View Solutionજો એક ત્રિકોણ અને એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ એક જ પાયા પર અને એક જ સમાંતર રેખાઓની વચ્ચે આવેલા હોય,તો સાબિત કરો કે ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના ક્ષેત્રફળથી અડધું હોય છે.
Difficult
View Solutionઆકૃતિમાં,$ABC$ એ $A$ આગળ કાટખૂણો ધરાવતો કાટકોણ ત્રિકોણ છે. $BCED$,$ACFG$ અને $ABMN$ એ અનુક્રમે $BC$,$CA$ અને $AB$ બાજુઓ પરના ચોરસ છે. રેખાખંડ $AX \perp DE$ એ $BC$ ને $Y$ માં મળે છે. સાબિત કરો કે: $\operatorname{ar}(CYXE) = 2 \operatorname{ar}(FCB)$.
Medium
View Solutionઆકૃતિમાં,$ABC$ અને $BDE$ બે સમબાજુ ત્રિકોણ છે,જેમાં $D$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે. જો $AE$ એ $BC$ ને $F$ માં છેદે,તો સાબિત કરો કે:
$(i)$ $\operatorname{ar}(BDE) = \frac{1}{4} \operatorname{ar}(ABC)$
$(ii)$ $\operatorname{ar}(BDE) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(BAE)$
$(iii)$ $\operatorname{ar}(ABC) = 2 \operatorname{ar}(BEC)$
$(iv)$ $\operatorname{ar}(BFE) = \operatorname{ar}(AFD)$
$(v)$ $\operatorname{ar}(BFE) = 2 \operatorname{ar}(FED)$
$(vi)$ $\operatorname{ar}(FED) = \frac{1}{8} \operatorname{ar}(AFC)$
$(i)$ $\operatorname{ar}(BDE) = \frac{1}{4} \operatorname{ar}(ABC)$
$(ii)$ $\operatorname{ar}(BDE) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(BAE)$
$(iii)$ $\operatorname{ar}(ABC) = 2 \operatorname{ar}(BEC)$
$(iv)$ $\operatorname{ar}(BFE) = \operatorname{ar}(AFD)$
$(v)$ $\operatorname{ar}(BFE) = 2 \operatorname{ar}(FED)$
$(vi)$ $\operatorname{ar}(FED) = \frac{1}{8} \operatorname{ar}(AFC)$
Medium
View Solutionચતુષ્કોણ $ABCD$ ના વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ એકબીજાને $O$ માં એવી રીતે છેદે છે કે જેથી $\operatorname{ar}(AOD) = \operatorname{ar}(BOC)$ થાય. સાબિત કરો કે $ABCD$ એક સમલંબ ચતુષ્કોણ છે.
Medium
View SolutionVedclass Products
For Students
Vedclass Test Series
Mock tests in real JEE/NEET style with performance analysis. 5-day free trial.
Start Free TrialFor Teachers
Exam Paper Generator
Generate Set A/B/C/D exam papers from 7.5L+ questions in 2 minutes. 3 chapters free.
Try FreeFor Institutes
Online Exam Module
Live online exams with unlimited students, 360° analytics & white-label branding.
See Demo