पाँच परीक्षा पत्रों को कितने तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है ताकि भौतिकी और रसायन विज्ञान के पेपर कभी भी एक साथ न आएं?

एक वृत्त पर स्थित $21$ बिंदुओं से होकर कितनी रेखाएँ खींची जा सकती हैं?

चार अलग-अलग रंगों की गेंदें हैं और चार बक्से हैं जिनके रंग गेंदों के समान हैं। गेंदों को प्रत्येक बक्से में एक-एक करके कितनी तरह से रखा जा सकता है कि कोई भी गेंद अपने स्वयं के रंग के बक्से में न जाए?

तीन बक्सों पर विचार करें,जिनमें से प्रत्येक में $1, 2, dots, 10$ लेबल वाले $10$ गेंदें हैं। मान लीजिए कि प्रत्येक बक्से से एक गेंद यादृच्छिक रूप से निकाली जाती है। $i^{th}$ बक्से से निकाली गई गेंद के लेबल को $n_i$ द्वारा दर्शाएं,$(i = 1, 2, 3)$। तो,गेंदों को चुनने के तरीकों की संख्या क्या है ताकि $n_1 < n_2 < n_3$ हो?

यदि $^nC_3 + ^nC_4 > ^{n+1}C_3$ है,तो

यदि $9$ पाठ्यक्रम उपलब्ध हैं और प्रत्येक छात्र के लिए $2$ पाठ्यक्रम अनिवार्य हैं,तो एक छात्र $5$ पाठ्यक्रमों का कार्यक्रम कितने तरीकों से चुन सकता है?