चार अलग-अलग रंगों की गेंदें हैं और चार बक्से | vedclass

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Question

(C) यह 'डिरेंजमेंट' (derangement) का एक मानक प्रश्न है,जहाँ $n$ वस्तुओं को $n$ बक्सों में इस प्रकार रखा जाता है कि कोई भी वस्तु अपने सही बक्से में न ह

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$9$

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(C) यह 'डिरेंजमेंट' (derangement) का एक मानक प्रश्न है,जहाँ $n$ वस्तुओं को $n$ बक्सों में इस प्रकार रखा जाता है कि कोई भी वस्तु अपने सही बक्से में न हो।$n$ वस्तुओं के डिरेंजमेंट की संख्या,जिसे $D_n$ द्वारा दर्शाया जाता है,का सूत्र है:$D_n = n! \left( 1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \dots + (-1)^n \frac{1}{n!} \right)$यहाँ $n = 4$ के लिए:$D_4 = 4! \left( \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} \right)$$D_4 = 24 \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{24} \right)$$D_4 = 24 \left( \frac{12 - 4 + 1}{24} \right)$$D_4 = 12 - 4 + 1 = 9$अतः,गेंदों को रखने के कुल $9$ तरीके हैं ताकि कोई भी गेंद अपने स्वयं के रंग के बक्से में न जाए।

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