નીચેના કિસ્સાઓમાં,આપેલા સમતલો સમાંતર છે કે લંબ છે તે નક્કી કરો,અને જો તે બંનેમાંથી એક પણ ન હોય,તો તેમની વચ્ચેનો ખૂણો શોધો.
$2x - y + 3z - 1 = 0$ અને $2x - y + 3z + 3 = 0$

(A) સમતલ $L_1: a_1x + b_1y + c_1z + d_1 = 0$ ના અભિલંબના દિકગુણોત્તરો $(a_1, b_1, c_1)$ છે અને $L_2: a_2x + b_2y + c_2z + d_2 = 0$ માટે $(a_2, b_2, c_2)$ છે.
જો $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ હોય,તો $L_1 \parallel L_2$ થાય.
જો $a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2 = 0$ હોય,તો $L_1 \perp L_2$ થાય.
$L_1$ અને $L_2$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = \cos^{-1} \left( \frac{|a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \cdot \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}} \right)$ દ્વારા મળે છે.
આપેલા સમતલોના સમીકરણો $2x - y + 3z - 1 = 0$ અને $2x - y + 3z + 3 = 0$ છે.
અહીં,$a_1 = 2, b_1 = -1, c_1 = 3$ અને $a_2 = 2, b_2 = -1, c_2 = 3$ છે.
ગુણોત્તરની ગણતરી કરતા: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{2} = 1$,$\frac{b_1}{b_2} = \frac{-1}{-1} = 1$,અને $\frac{c_1}{c_2} = \frac{3}{3} = 1$.
ચુંકે $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} = 1$ છે,તેથી આપેલા સમતલો એકબીજાને સમાંતર છે.