निम्नलिखित मामलों में,निर्धारित करें कि क्या दिए गए समतल समानांतर हैं या लंबवत हैं,और यदि वे न तो समानांतर हैं और न ही लंबवत,तो उनके बीच का कोण ज्ञात करें।
$2x - y + 3z - 1 = 0$ और $2x - y + 3z + 3 = 0$

(A) समतल $L_1: a_1x + b_1y + c_1z + d_1 = 0$ के अभिलंब के दिक अनुपात $(a_1, b_1, c_1)$ हैं और $L_2: a_2x + b_2y + c_2z + d_2 = 0$ के लिए $(a_2, b_2, c_2)$ हैं।
यदि $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ हो,तो $L_1 \parallel L_2$ होता है।
यदि $a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2 = 0$ हो,तो $L_1 \perp L_2$ होता है।
$L_1$ और $L_2$ के बीच का कोण $\theta = \cos^{-1} \left( \frac{|a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \cdot \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}} \right)$ द्वारा दिया जाता है।
समतलों के समीकरण $2x - y + 3z - 1 = 0$ और $2x - y + 3z + 3 = 0$ हैं।
यहाँ,$a_1 = 2, b_1 = -1, c_1 = 3$ और $a_2 = 2, b_2 = -1, c_2 = 3$ है।
अनुपातों की गणना करने पर: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{2} = 1$,$\frac{b_1}{b_2} = \frac{-1}{-1} = 1$,और $\frac{c_1}{c_2} = \frac{3}{3} = 1$ है।
चूंकि $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} = 1$ है,इसलिए दिए गए समतल एक-दूसरे के समानांतर हैं।