અંતરાલ $(-2 \pi, 0)$ માં, વિધેય $f(x) = \sin \left(\frac{1}{x^3}\right)$

$f(x) = \begin{cases} \frac{x-4}{|x-4|} + a, & x < 4 \\ a + b, & x = 4 \\ \frac{x-4}{|x-4|} + b, & x > 4 \end{cases}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેય $x = 4$ આગળ સતત હોય,તો $a$ અને $b$ ની કિંમતો શોધો:

વિધેય $f: R - \{0\} \to R$,જે $f(x) = \frac{1}{x} - \frac{2}{e^{2x} - 1}$ દ્વારા આપવામાં આવેલ છે,તેને $f(0)$ વ્યાખ્યાયિત કરીને $x = 0$ આગળ સતત બનાવી શકાય છે. તો $f(0)$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $f:(0,1) \rightarrow \mathbb{R}$ એ $f(x)=[4x](x-\frac{1}{4})^2(x-\frac{1}{2})$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત વિધેય છે,જ્યાં $[x]$ એ $x$ થી નાનો અથવા તેના જેટલો મહત્તમ પૂર્ણાંક દર્શાવે છે. તો નીચેનામાંથી કયું/કયા વિધાન સાચું/સાચા છે?
$(A)$ વિધેય $f$ એ $(0,1)$ માં બરાબર એક બિંદુએ અસતત છે
$(B)$ $(0,1)$ માં બરાબર એક એવું બિંદુ છે જ્યાં વિધેય $f$ સતત છે પરંતુ વિકલનીય નથી
$(C)$ વિધેય $f$ એ $(0,1)$ માં ત્રણથી વધુ બિંદુઓ પર વિકલનીય નથી
$(D)$ વિધેય $f$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $-\frac{1}{512}$ છે

વિધેય $f(x) = \frac{\log(1+ax) - \log(1-bx)}{x}$ એ $x=0$ આગળ વ્યાખ્યાયિત નથી. $x=0$ આગળ વિધેય સતત બને તે માટે $f(0)$ ની કિંમત કેટલી હોવી જોઈએ?

ધારો કે $k$ એ શૂન્યતર વાસ્તવિક સંખ્યા છે. જો $f(x) = \begin{cases} \frac{(e^x - 1)^2}{\sin (x/k) \log (1 + x/4)}, & x \neq 0 \\ 12, & x = 0 \end{cases}$ એ સતત વિધેય હોય,તો $k$ ની કિંમત શોધો.