સંમેય વિધેયનું સંકલન કરો:
$\frac{x^{3}+x+1}{x^{2}-1}$

(N/A) આપેલ સંકલ્ય એક અશુદ્ધ અપૂર્ણાંક છે કારણ કે અંશની ઘાત છેદની ઘાત કરતાં મોટી છે.
પ્રથમ,$(x^{3}+x+1)$ ને $(x^{2}-1)$ વડે ભાગતા:
$\frac{x^{3}+x+1}{x^{2}-1} = x + \frac{2x+1}{x^{2}-1}$
હવે,$\frac{2x+1}{x^{2}-1}$ ને આંશિક અપૂર્ણાંકમાં વિભાજિત કરતા:
$\frac{2x+1}{(x-1)(x+1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+1}$
$2x+1 = A(x+1) + B(x-1)$
$x=1$ લેતા,$3 = 2A \Rightarrow A = \frac{3}{2}$ મળે છે.
$x=-1$ લેતા,$-1 = -2B \Rightarrow B = \frac{1}{2}$ મળે છે.
આમ,$\frac{x^{3}+x+1}{x^{2}-1} = x + \frac{3}{2(x-1)} + \frac{1}{2(x+1)}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int \left( x + \frac{3}{2(x-1)} + \frac{1}{2(x+1)} \right) dx = \frac{x^{2}}{2} + \frac{3}{2} \ln|x-1| + \frac{1}{2} \ln|x+1| + C$.