परिमेय फलन का समाकलन कीजिए:
$\frac{x^{3}+x+1}{x^{2}-1}$

(N/A) दिया गया समाकल्य एक विषम भिन्न है क्योंकि अंश की घात हर की घात से अधिक है।
सबसे पहले,$(x^{3}+x+1)$ को $(x^{2}-1)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{x^{3}+x+1}{x^{2}-1} = x + \frac{2x+1}{x^{2}-1}$
अब,$\frac{2x+1}{x^{2}-1}$ को आंशिक भिन्नों में वियोजित करने पर:
$\frac{2x+1}{(x-1)(x+1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+1}$
$2x+1 = A(x+1) + B(x-1)$
$x=1$ रखने पर,$3 = 2A \Rightarrow A = \frac{3}{2}$ प्राप्त होता है।
$x=-1$ रखने पर,$-1 = -2B \Rightarrow B = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{x^{3}+x+1}{x^{2}-1} = x + \frac{3}{2(x-1)} + \frac{1}{2(x+1)}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \left( x + \frac{3}{2(x-1)} + \frac{1}{2(x+1)} \right) dx = \frac{x^{2}}{2} + \frac{3}{2} \ln|x-1| + \frac{1}{2} \ln|x+1| + C$.