मान लीजिए f:(-1, infty) rightarrow mathbb{R} | vedclass

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Question

(A) $x 
eq 0$ के लिए,$f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{\ln(1+x)}{x} ight) = \frac{x \cdot \frac{1}{1+x} - \ln(1+x)}{x^2} = \frac{x - (1+x)\ln(1+x)

Vedclass · Accepted Answer

$(-1, \infty)$ में घटता है

Vedclass · Answer

(A) $x 
eq 0$ के लिए,$f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{\ln(1+x)}{x} ight) = \frac{x \cdot \frac{1}{1+x} - \ln(1+x)}{x^2} = \frac{x - (1+x)\ln(1+x)}{x^2(1+x)}$.मान लीजिए $h(x) = x - (1+x)\ln(1+x)$.तब $h'(x) = 1 - [\ln(1+x) + (1+x) \cdot \frac{1}{1+x}] = 1 - \ln(1+x) - 1 = -\ln(1+x)$.$x \in (-1, 0)$ के लिए,$1+x \in (0, 1)$,इसलिए $\ln(1+x)  0$.$x \in (0, \infty)$ के लिए,$1+x > 1$,इसलिए $\ln(1+x) > 0$,जिसका अर्थ है $h'(x) चूंकि $h(0) = 0 - (1)\ln(1) = 0$,$h(x)$ अंतराल $(-1, 0)$ में बढ़ता है और $(0, \infty)$ में घटता है।अतः,सभी $x \in (-1, \infty) \setminus \{0\}$ के लिए $h(x) चूंकि सभी $x \in (-1, \infty) \setminus \{0\}$ के लिए $x^2(1+x) > 0$,इसलिए $f'(x) = \frac{h(x)}{x^2(1+x)} इसलिए,फलन $f$ अंतराल $(-1, \infty)$ पर निरंतर घटता हुआ फलन है।

मान लीजिए $f:(-1, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ को $f(0)=1$ और $f(x)=\frac{1}{x} \ln(1+x), x \neq 0$ द्वारा परिभाषित किया गया है। तो फलन $f$

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किस अंतराल के लिए दिया गया फलन $f(x) = -2x^3 - 9x^2 - 12x + 1$ ह्रासमान (decreasing) है?

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