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Question

(D) दिया गया सीमा $L = \lim_{t \rightarrow x} \frac{t^{2} f^{2}(x) - x^{2} f^{2}(t)}{t - x} = 0$ है।$t$ के सापेक्ष $L$'$H$ôpital नियम का उपयोग करने पर

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$\frac{1}{e}$

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(D) दिया गया सीमा $L = \lim_{t \rightarrow x} \frac{t^{2} f^{2}(x) - x^{2} f^{2}(t)}{t - x} = 0$ है।$t$ के सापेक्ष $L$'$H$ôpital नियम का उपयोग करने पर:$L = \lim_{t \rightarrow x} \frac{2t f^{2}(x) - x^{2} \cdot 2f(t) f'(t)}{1} = 0$.$t = x$ रखने पर:$2x f^{2}(x) - 2x^{2} f(x) f'(x) = 0$.$2x f(x)$ से भाग देने पर (चूंकि $x > 0$ और $f(x) > 0$):$f(x) - x f'(x) = 0 \Rightarrow \frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{1}{x}$.दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:$\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \int \frac{1}{x} dx \Rightarrow \ln|f(x)| = \ln|x| + C$.चूंकि $f(x) > 0$ और $x > 0$,इसलिए $f(x) = Cx$ है।$f(1) = e$ शर्त का उपयोग करने पर:$e = C(1) \Rightarrow C = e$.अतः,$f(x) = ex$ है।यदि $f(x) = 1$ है,तो $ex = 1$,जिसका अर्थ है कि $x = \frac{1}{e}$।

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