मान लीजिए S सभी alpha in R का समुच्चय है जिसक | vedclass

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Question

(C) दिया गया समीकरण: $\cos 2x + \alpha \sin x = 2\alpha - 7$.सर्वसमिका $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$ का उपयोग करने पर:$1 - 2\sin^2 x + \alpha \sin x = 2\a

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$[2, 6]$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया समीकरण: $\cos 2x + \alpha \sin x = 2\alpha - 7$.सर्वसमिका $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$ का उपयोग करने पर:$1 - 2\sin^2 x + \alpha \sin x = 2\alpha - 7$.पदों को $\sin x$ में द्विघात समीकरण के रूप में व्यवस्थित करने पर:$2\sin^2 x - \alpha \sin x + (2\alpha - 8) = 0$.द्विघात सूत्र $\sin x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:$\sin x = \frac{\alpha \pm \sqrt{\alpha^2 - 4(2)(2\alpha - 8)}}{4} = \frac{\alpha \pm \sqrt{\alpha^2 - 16\alpha + 64}}{4}$.चूँकि $\alpha^2 - 16\alpha + 64 = (\alpha - 8)^2$,हमारे पास है:$\sin x = \frac{\alpha \pm (\alpha - 8)}{4}$.यह $\sin x$ के लिए दो संभावित मान देता है:$1) \sin x = \frac{\alpha + \alpha - 8}{4} = \frac{2\alpha - 8}{4} = \frac{\alpha - 4}{2}$.$2) \sin x = \frac{\alpha - \alpha + 8}{4} = \frac{8}{4} = 2$.चूँकि $\sin x = 2$ संभव नहीं है,इसलिए $\sin x = \frac{\alpha - 4}{2}$ होना चाहिए।हल के अस्तित्व के लिए $-1 \leq \sin x \leq 1$ होना चाहिए:$-1 \leq \frac{\alpha - 4}{2} \leq 1$.$-2 \leq \alpha - 4 \leq 2$.सभी पक्षों में $4$ जोड़ने पर: $2 \leq \alpha \leq 6$.अतः,$S = [2, 6]$.

मान लीजिए $S$ सभी $\alpha \in R$ का समुच्चय है जिसके लिए समीकरण $\cos 2x + \alpha \sin x = 2\alpha - 7$ का एक हल है। तो $S$ किसके बराबर है?

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दिए गए दो समीकरणों को हल करें और दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर चुनें।
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$II.$ $y^{2}+y-12=0$

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