मान लीजिए f(x) = cos left(2 tan ^{-1} sin lef | vedclass

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Question

(C) दिया गया है $f(x) = \cos \left(2 	an ^{-1} \sin \left(\cot ^{-1} \sqrt{\frac{1-x}{x}}ight)ight)$.मान लीजिए $	heta = \cot ^{-1} \sqrt{\frac{1

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$(1-x)^{2} f^{\prime}(x)+2(f(x))^{2}=0$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया है $f(x) = \cos \left(2 	an ^{-1} \sin \left(\cot ^{-1} \sqrt{\frac{1-x}{x}}ight)ight)$.मान लीजिए $	heta = \cot ^{-1} \sqrt{\frac{1-x}{x}}$. तब $\cot 	heta = \sqrt{\frac{1-x}{x}}$,जिसका अर्थ है $	an 	heta = \sqrt{\frac{x}{1-x}}$.सर्वसमिका $\sin 	heta = \frac{	an 	heta}{\sqrt{1+	an^2 	heta}} = \frac{\sqrt{x/(1-x)}}{\sqrt{1+x/(1-x)}} = \sqrt{x}$ का उपयोग करने पर.अतः,$\cot ^{-1} \sqrt{\frac{1-x}{x}} = \sin ^{-1} \sqrt{x}$.इस मान को $f(x)$ में प्रतिस्थापित करने पर:$f(x) = \cos \left(2 	an ^{-1} \sqrt{x}ight)$.सर्वसमिका $2 	an ^{-1} u = \cos ^{-1} \left(\frac{1-u^2}{1+u^2}ight)$ का उपयोग करने पर:$f(x) = \cos \left(\cos ^{-1} \left(\frac{1-x}{1+x}ight)ight) = \frac{1-x}{1+x}$.अब,भागफल नियम का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष $f(x)$ का अवकलन करने पर:$f^{\prime}(x) = \frac{(1+x)(-1) - (1-x)(1)}{(1+x)^2} = \frac{-1-x-1+x}{(1+x)^2} = \frac{-2}{(1+x)^2}$.अब विकल्पों की जाँच करते हैं। $(1-x)^2 f^{\prime}(x) + 2(f(x))^2$ पर विचार करें:$(1-x)^2 \left(\frac{-2}{(1+x)^2}ight) + 2 \left(\frac{1-x}{1+x}ight)^2 = \frac{-2(1-x)^2}{(1+x)^2} + \frac{2(1-x)^2}{(1+x)^2} = 0$.अतः,$(1-x)^{2} f^{\prime}(x)+2(f(x))^{2}=0$ सही है।

सूची-$I$	सूची-$II$
$A$. $\sin ^{-1}\left(\frac{2 \sqrt{2}}{3}\right)+\sin ^{-1} \frac{1}{3}$	$I$. $k \pi \pm(-1)^k \frac{\pi}{6}, k \in Z$
$B$. $\sin ^{-1}\left(\frac{(-1)^n}{2}\right), n \in Z$	$II$. $k \pi \pm 1, k \in Z$
$C$. $\tan ^{-1}\left(\sec \frac{\pi}{4}+\tan \frac{\pi}{4}\right)$	$III$. $\frac{3}{2}$
$D$. $\sin ^{-1}\|\sin x\|=\sqrt{\sin ^{-1}\|\sin x\|} \Rightarrow x \in$	$IV$. $\frac{3 \pi}{8}$
	$V$. $\frac{\pi}{2}$

मान लीजिए $f(x) = \cos \left(2 \tan ^{-1} \sin \left(\cot ^{-1} \sqrt{\frac{1-x}{x}}\right)\right)$,$0 < x < 1$ के लिए। तो :

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यदि $\alpha$ और $\beta$ (जहाँ $\alpha > \beta$) समीकरण $3\cos^{-1}\left(x^2 - 5x - \frac{11}{2}\right) = \pi$ के दो शून्यक हैं,तो $(\alpha^2 + \beta^3)$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $6x^2 - 5x + 1 = 0$ के मूल हैं,तो $\tan^{-1}\alpha + \tan^{-1}\beta$ का मान ज्ञात कीजिए।

$x, y, z$ $G$.$P$. में हैं और $\tan^{-1} x, \tan^{-1} y, \tan^{-1} z$ $A$.$P$. में हैं,तो

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