मान लीजिए X एक यादृच्छिक चर है जिसका प्रायिकत | vedclass

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Question

(D) माध्य $E(X) = \sum_{j=0}^{\infty} j \cdot P(X=j)$ द्वारा दिया जाता है।चूँकि $P(X=0) = 0 \cdot \frac{1}{2} = 0$,इसलिए $E(X) = \sum_{j=1}^{\infty} j

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{3}{4}$ और $\frac{1}{8}$

Vedclass · Answer

(D) माध्य $E(X) = \sum_{j=0}^{\infty} j \cdot P(X=j)$ द्वारा दिया जाता है।चूँकि $P(X=0) = 0 \cdot \frac{1}{2} = 0$,इसलिए $E(X) = \sum_{j=1}^{\infty} j \cdot \frac{1}{3^j}$ है।यह $\sum_{j=1}^{\infty} j r^j$ प्रकार की एक श्रेणी है जहाँ $r = \frac{1}{3}$ है।इसका योग $\frac{r}{(1-r)^2} = \frac{1/3}{(1-1/3)^2} = \frac{1/3}{4/9} = \frac{3}{4}$ है।$P(X 	ext{ धनात्मक और सम है})$ के लिए,हम $j \in \{2, 4, 6, \ldots\}$ के लिए $P(X=j)$ का योग करते हैं।$P(X 	ext{ धनात्मक और सम है}) = \sum_{k=1}^{\infty} P(X=2k) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{3^{2k}} = \sum_{k=1}^{\infty} \left(\frac{1}{9}ight)^k$ है।यह एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = \frac{1}{9}$ और सार्व अनुपात $r = \frac{1}{9}$ है।योग $\frac{a}{1-r} = \frac{1/9}{1-1/9} = \frac{1/9}{8/9} = \frac{1}{8}$ है।अतः,माध्य $\frac{3}{4}$ है और प्रायिकता $\frac{1}{8}$ है।

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