ધારો કે y=y(x) એ વિકલ સમીકરણ log _{e}left(fra | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\log _{e}\left(\frac{d y}{d x}\right)=3 x+4 y$ ને $\frac{d y}{d x}=e^{3 x+4 y}=e^{3 x} \cdot e^{4 y}$ તરીકે લખી શકાય.ચલને અલગ કર

Vedclass · Accepted Answer

$-\frac{1}{4}$

Vedclass · Answer

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\log _{e}\left(\frac{d y}{d x}\right)=3 x+4 y$ ને $\frac{d y}{d x}=e^{3 x+4 y}=e^{3 x} \cdot e^{4 y}$ તરીકે લખી શકાય.ચલને અલગ કરતા,$e^{-4 y} d y=e^{3 x} d x$ મળે.બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int e^{-4 y} d y=\int e^{3 x} d x$,જે $-\frac{1}{4} e^{-4 y}=\frac{1}{3} e^{3 x}+C$ આપે છે.શરત $y(0)=0$ નો ઉપયોગ કરતા,$x=0$ અને $y=0$ મૂકતા: $-\frac{1}{4} e^{0}=\frac{1}{3} e^{0}+C \Rightarrow -\frac{1}{4}=\frac{1}{3}+C \Rightarrow C=-\frac{7}{12}$.આમ,$-\frac{1}{4} e^{-4 y}=\frac{1}{3} e^{3 x}-\frac{7}{12}$.$-12$ વડે ગુણતા,$3 e^{-4 y} = 7 - 4 e^{3 x}$,તેથી $e^{-4 y} = \frac{7 - 4 e^{3 x}}{3}$.વ્યસ્ત લેતા,$e^{4 y} = \frac{3}{7 - 4 e^{3 x}}$,તેથી $4 y = \log _{e} \left(\frac{3}{7 - 4 e^{3 x}}\right)$.$x = -\frac{2}{3} \log _{e} 2$ માટે,$e^{3 x} = e^{3 \left(-\frac{2}{3} \log _{e} 2\right)} = e^{-2 \log _{e} 2} = 2^{-2} = \frac{1}{4}$.આ કિંમત $4y$ ના સમીકરણમાં મૂકતા: $4 y = \log _{e} \left(\frac{3}{7 - 4(1/4)}\right) = \log _{e} \left(\frac{3}{6}\right) = \log _{e} \left(\frac{1}{2}\right) = -\log _{e} 2$.તેથી,$y = -\frac{1}{4} \log _{e} 2$. આને $y = \alpha \log _{e} 2$ સાથે સરખાવતા,$\alpha = -\frac{1}{4}$ મળે.

Similar Questions

વિકલ સમીકરણ $\cot y \, dx = x \, dy$ નો ઉકેલ કયા સ્વરૂપમાં છે?

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + \frac{1 + x^2}{x} = 0$ નો ઉકેલ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $x dy - y dx = 0$ નો વ્યાપક ઉકેલ શું દર્શાવે છે?

જો $\frac{dy}{dx} = y + 3$,$y + 3 > 0$ અને $y(0) = 2$ હોય,તો $y(\log 2)$ ની કિંમત શોધો.

વિકલ સમીકરણ $(y \sin x + y) \frac{dy}{dx} - \cos^2 x = 0$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module