माना x=2t, y=frac{t^2}{3} एक शांकव है। माना S | vedclass

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Question

(D) दिया गया शांकव $x=2t, y=\frac{t^2}{3}$ है। $x$ का वर्ग करने पर,हमें $x^2 = 4t^2$ प्राप्त होता है। चूँकि $y = \frac{t^2}{3}$,इसलिए $t^2 = 3y$। अतः,

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$\frac{13}{18}$

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(D) दिया गया शांकव $x=2t, y=\frac{t^2}{3}$ है। $x$ का वर्ग करने पर,हमें $x^2 = 4t^2$ प्राप्त होता है। चूँकि $y = \frac{t^2}{3}$,इसलिए $t^2 = 3y$। अतः,$x^2 = 4(3y) = 12y$। यह एक परवलय है जिसकी नाभि $S(0, 3)$ है।दिया गया है कि $SA \perp BA$,इसलिए $SA$ और $BA$ की प्रवणताओं (slopes) का गुणनफल $-1$ है।$SA$ की प्रवणता $= \frac{\frac{t^2}{3} - 3}{2t - 0} = \frac{t^2 - 9}{6t}$।$BA$ की प्रवणता $= \frac{\frac{t^2}{3} - \alpha}{2t - 0} = \frac{t^2 - 3\alpha}{6t}$।चूँकि $SA \perp BA$,$\left(\frac{t^2 - 9}{6t}\right) \cdot \left(\frac{t^2 - 3\alpha}{6t}\right) = -1$।$(t^2 - 9)(t^2 - 3\alpha) = -36t^2$।$t^4 - 3\alpha t^2 - 9t^2 + 27\alpha = -36t^2$।$27\alpha - 3\alpha t^2 = -36t^2 - t^4 + 9t^2 = -27t^2 - t^4$।$3\alpha(9 - t^2) = -(27t^2 + t^4)$।$3\alpha = \frac{27t^2 + t^4}{t^2 - 9}$।$\Delta SAB$ के शीर्ष $S(0, 3)$,$A(2t, \frac{t^2}{3})$,और $B(0, \alpha)$ हैं,इसलिए इसके केंद्रक की कोटि $k = \frac{3 + \frac{t^2}{3} + \alpha}{3} = 1 + \frac{t^2}{9} + \frac{\alpha}{3}$ है।$3\alpha = \frac{27t^2 + t^4}{t^2 - 9}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{\alpha}{3} = \frac{27t^2 + t^4}{9(t^2 - 9)}$ प्राप्त होता है।$k = 1 + \frac{t^2}{9} + \frac{27t^2 + t^4}{9(t^2 - 9)} = \frac{9(t^2 - 9) + t^2(t^2 - 9) + 27t^2 + t^4}{9(t^2 - 9)} = \frac{9t^2 - 81 + t^4 - 9t^2 + 27t^2 + t^4}{9(t^2 - 9)} = \frac{2t^4 + 27t^2 - 81}{9(t^2 - 9)}$।जैसे ही $t \rightarrow 1$,$k \rightarrow \frac{2(1)^4 + 27(1)^2 - 81}{9(1^2 - 9)} = \frac{2 + 27 - 81}{9(-8)} = \frac{-52}{-72} = \frac{13}{18}$।

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