माना P : y^{2} = 4ax, a 0 एक परवलय है जिसकी | vedclass

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Question

(D) रेखा $y = 3x + 5$ की ढाल $m_1 = 3$ है। माना स्पर्श रेखाओं की ढाल $m$ है। स्पर्श रेखाओं और रेखा के बीच का कोण $\frac{\pi}{4}$ है।$	an(	heta) = |\

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कोई भी $a > 0$

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(D) रेखा $y = 3x + 5$ की ढाल $m_1 = 3$ है। माना स्पर्श रेखाओं की ढाल $m$ है। स्पर्श रेखाओं और रेखा के बीच का कोण $\frac{\pi}{4}$ है।$	an(	heta) = |\frac{m - m_1}{1 + m \cdot m_1}|$ सूत्र का उपयोग करने पर,$	an(\frac{\pi}{4}) = |\frac{m - 3}{1 + 3m}| = 1$ प्राप्त होता है।इससे दो स्थितियाँ मिलती हैं: $\frac{m - 3}{1 + 3m} = 1$ या $\frac{m - 3}{1 + 3m} = -1$.स्थिति $1$: $m - 3 = 1 + 3m \implies -2m = 4 \implies m = -2$.स्थिति $2$: $m - 3 = -1 - 3m \implies 4m = 2 \implies m = \frac{1}{2}$.चूँकि ढालों का गुणनफल $m_1 \cdot m_2 = (-2) \cdot (\frac{1}{2}) = -1$ है,इसलिए दोनों स्पर्श रेखाएँ एक-दूसरे के लंबवत हैं।परवलय का एक गुण है कि यदि दो स्पर्श रेखाएँ लंबवत हैं,तो उनका प्रतिच्छेदन बिंदु नियता (directrix) पर स्थित होता है,और स्पर्श बिंदुओं $A$ और $B$ को जोड़ने वाली रेखा नाभि $S$ से होकर गुजरती है।अतः,किसी भी $a > 0$ के लिए $A, S$ और $B$ संरेख हैं।

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