मान लीजिए कि X का द्विपद वितरण B(n, p) है,इस | vedclass

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Question

(B) मान लीजिए $\mu = np$ माध्य है और $\sigma^2 = npq$ द्विपद वितरण $X \sim B(n, p)$ का प्रसरण है।दिया गया है कि $\mu + \sigma^2 = 24$ और $\mu \sigma^2

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$529$

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(B) मान लीजिए $\mu = np$ माध्य है और $\sigma^2 = npq$ द्विपद वितरण $X \sim B(n, p)$ का प्रसरण है।दिया गया है कि $\mu + \sigma^2 = 24$ और $\mu \sigma^2 = 128$ है।मान लीजिए $x = \mu$ और $y = \sigma^2$ है। तो $x + y = 24$ और $xy = 128$ है।द्विघात समीकरण $t^2 - 24t + 128 = 0$ के मूल $t = 16$ और $t = 8$ हैं।चूंकि $\mu > \sigma^2$ (क्योंकि $q अतः,$np = 16$ और $npq = 8$ है। इनका भाग देने पर $q = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।चूंकि $p = 1 - q$,इसलिए $p = \frac{1}{2}$ है।अतः $n 	imes \frac{1}{2} = 16$,जिससे $n = 32$ प्राप्त होता है।हमें $P(X > n - 3) = P(X > 29) = P(X = 30) + P(X = 31) + P(X = 32)$ ज्ञात करना है।$P(X = r) = {}^{n}C_r p^r q^{n-r} = {}^{32}C_r (\frac{1}{2})^r (\frac{1}{2})^{32-r} = \frac{{}^{32}C_r}{2^{32}}$ है।अतः,$P(X > 29) = \frac{{}^{32}C_{30} + {}^{32}C_{31} + {}^{32}C_{32}}{2^{32}} = \frac{k}{2^{32}}$ है।इस प्रकार,$k = {}^{32}C_{30} + {}^{32}C_{31} + {}^{32}C_{32} = {}^{32}C_2 + {}^{32}C_1 + {}^{32}C_0$ है।$k = \frac{32 	imes 31}{2} + 32 + 1 = 496 + 32 + 1 = 529$ है।

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