मान लीजिए S = {z = x + iy : |z - 1 + i| geq | | vedclass

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Question

(B) $z = x + iy$ के लिए दी गई शर्तें:$1) |z - 1 + i| \geq |z| \Rightarrow |(x - 1) + i(y + 1)| \geq |x + iy| \Rightarrow (x - 1)^2 + (y + 1)^2 \geq x^

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$\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{4}\right]$

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(B) $z = x + iy$ के लिए दी गई शर्तें:$1) |z - 1 + i| \geq |z| \Rightarrow |(x - 1) + i(y + 1)| \geq |x + iy| \Rightarrow (x - 1)^2 + (y + 1)^2 \geq x^2 + y^2 \Rightarrow x^2 - 2x + 1 + y^2 + 2y + 1 \geq x^2 + y^2 \Rightarrow 2y \geq 2x - 2 \Rightarrow y \geq x - 1$.$2) |z + i| = |z - 1| \Rightarrow |x + i(y + 1)| = |(x - 1) + iy| \Rightarrow x^2 + (y + 1)^2 = (x - 1)^2 + y^2 \Rightarrow x^2 + y^2 + 2y + 1 = x^2 - 2x + 1 + y^2 \Rightarrow 2y = -2x \Rightarrow y = -x$.$3) |z| शर्तों में $y = -x$ प्रतिस्थापित करने पर:$(1)$ से,$-x \geq x - 1 \Rightarrow 2x \leq 1 \Rightarrow x \leq \frac{1}{2}$.$(3)$ से,$x^2 + (-x)^2 अतः,$z$ रेखाखंड $y = -x$ पर $x \in (-\sqrt{2}, 1/2]$ के लिए स्थित है।अब,$w = 2x + iy \in S$ किसी $y \in \mathbb{R}$ के लिए। चूँकि $z = x + iy \in S$,हमारे पास $y = -x$ है। अतः $w = 2x - ix$। मान लीजिए $w = X + iY$,जहाँ $X = 2x$ और $Y = -x$ है। तो $Y = -X/2$ है।चूँकि $z \in S$,हमारे पास $x \in (-\sqrt{2}, 1/2]$ है। अतः $X = 2x \in (-2\sqrt{2}, 1]$ है।हालाँकि,$w \in S$ शर्त यह दर्शाती है कि $w$ को $z$ जैसी ही शर्तों का पालन करना चाहिए। विशेष रूप से,$w = X + iY$ को $Y = -X$ और $X^2 + Y^2 साथ ही,$Y \geq X - 1 \Rightarrow -X \geq X - 1 \Rightarrow 2X \leq 1 \Rightarrow X \leq 1/2$ है।इन दोनों को मिलाने पर,$X \in (-\sqrt{2}, 1/2]$ प्राप्त होता है। विकल्पों को देखते हुए,वास्तविक भाग $X$ के लिए सही समुच्चय $\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{4}\right]$ है।

मान लीजिए $S = \{z = x + iy : |z - 1 + i| \geq |z|, |z| < 2, |z + i| = |z - 1|\}$ है। तो $x$ के उन सभी मानों का समुच्चय,जिनके लिए किसी $y \in \mathbb{R}$ के लिए $w = 2x + iy \in S$ है,है:

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