ધારો કે n 2 એક પૂર્ણાંક છે અને બહુપદી p(x) | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) આપેલ છે કે $n p(x) = (1 + x) p'(x)$.ધારો કે $p(x) = \sum_{k=0}^n a_k x^k$ જ્યાં $a_n = 1$.સમીકરણ $n \sum_{k=0}^n a_k x^k = (1 + x) \sum_{k=1}^n k

Vedclass · Accepted Answer

$b$ એ $2$ ની ઘાત છે

Vedclass · Answer

(C) આપેલ છે કે $n p(x) = (1 + x) p'(x)$.ધારો કે $p(x) = \sum_{k=0}^n a_k x^k$ જ્યાં $a_n = 1$.સમીકરણ $n \sum_{k=0}^n a_k x^k = (1 + x) \sum_{k=1}^n k a_k x^{k-1}$ છે.બંને બાજુ $x^k$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા:$n a_k = (k+1) a_{k+1} + k a_k$.આનું સાદું રૂપ $(n-k) a_k = (k+1) a_{k+1}$ થાય છે,અથવા $a_{k+1} = \frac{n-k}{k+1} a_k$.કારણ કે $a_n = 1$,આપણને $a_{n-1} = \binom{n}{1}$ મળે છે.ગાણિતિક અનુમાન દ્વારા,$a_{n-k} = \binom{n}{k}$.આમ,$p(x) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} x^{n-k} = (x+1)^n$.તેથી $b = p(1) = (1+1)^n = 2^n$.તેથી,$b$ એ $2$ ની ઘાત છે.

Similar Questions

$\sum_{j=0}^{200} (1 + x)^j$ ના વિસ્તરણમાં $x^{100}$ નો સહગુણક શું છે?

$(1+x)^{1000} + x(1+x)^{999} + x^2(1+x)^{998} + \ldots + x^{1000}$ ના વિસ્તરણમાં $x^{50}$ નો સહગુણક શોધો.

જો $(1+x+x^2+x^3)^5 = \sum_{k=0}^{15} a_k x^k$ હોય,તો $\sum_{k=0}^7 a_{2k}$ ની કિંમત શોધો.

$(1+x+x^{2})^{10}$ ના વિસ્તરણમાં $x^{4}$ નો સહગુણક શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module