मान लीजिए कि x 0 एक निश्चित वास्तविक संख्या | vedclass

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Question

(A) मान लीजिए $I = \int \limits_0^{\infty} e^{-t}|x-t| d t$. चूंकि $x > 0$,हम समाकलन को $t = x$ पर विभाजित करते हैं: $I = \int \limits_0^x e^{-t}(x-t)

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$x+2 e^{-x}-1$

Vedclass · Answer

(A) मान लीजिए $I = \int \limits_0^{\infty} e^{-t}|x-t| d t$. चूंकि $x > 0$,हम समाकलन को $t = x$ पर विभाजित करते हैं: $I = \int \limits_0^x e^{-t}(x-t) d t + \int \limits_x^{\infty} e^{-t}(t-x) d t$ पहले समाकलन के लिए,खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए: $\int \limits_0^x e^{-t}(x-t) d t = [-(x-t)e^{-t}]_0^x - \int \limits_0^x e^{-t} d t = (0 - (-x)) - [-e^{-t}]_0^x = x - (1 - e^{-x}) = x - 1 + e^{-x}$ दूसरे समाकलन के लिए: $\int \limits_x^{\infty} e^{-t}(t-x) d t = [-(t-x)e^{-t}]_x^{\infty} + \int \limits_x^{\infty} e^{-t} d t = (0 - 0) + [-e^{-t}]_x^{\infty} = 0 - (0 - e^{-x}) = e^{-x}$ दोनों भागों को जोड़ने पर: $I = (x - 1 + e^{-x}) + e^{-x} = x + 2e^{-x} - 1$.

मान लीजिए कि $x > 0$ एक निश्चित वास्तविक संख्या है। तो,समाकलन $\int \limits_0^{\infty} e^{-t}|x-t| d t$ का मान ज्ञात कीजिए।

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मान लीजिए $5 f(x)+4 f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{x}+3$,जहाँ $x > 0$ है। तो $18 \int \limits_1^2 f(x) \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए:

यदि $f(x) = \frac{\sin^2 \pi x}{1+\pi^x}$ है,तो $\int (f(x) + f(-x)) \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\int \frac{1}{a^2 \sin^2 x + b^2 \cos^2 x} dx = \frac{1}{12} \tan^{-1}(3 \tan x) + C$ है,तो $a \sin x + b \cos x$ का अधिकतम मान ज्ञात कीजिए:

यदि ${I_1} = \int {{{\sin }^{ - 1}}x\,dx} $ और ${I_2} = \int {{{\sin }^{ - 1}}\sqrt {1 - {x^2}} } dx$ है,तो:

$\int (\sin^{-1} x + \cos^{-1} x) \, dx = $

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