ધારો કે C_1 અને C_2 બે વર્તુળો છે જે બિંદુ A | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) ધારો કે વર્તુળ $C_1$ અને $C_2$ ની ત્રિજ્યાઓ અનુક્રમે $r_1$ અને $r_2$ છે. $AB$ એ $C_1$ નો વ્યાસ હોવાથી,$AB = 2r_1$. $C_1$ અને $C_2$ બિંદુ $A$ પર બહ

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{\sqrt{30}}{5}, \frac{3 \sqrt{30}}{10}$

Vedclass · Answer

(A) ધારો કે વર્તુળ $C_1$ અને $C_2$ ની ત્રિજ્યાઓ અનુક્રમે $r_1$ અને $r_2$ છે. $AB$ એ $C_1$ નો વ્યાસ હોવાથી,$AB = 2r_1$. $C_1$ અને $C_2$ બિંદુ $A$ પર બહારથી સ્પર્શતા હોવાથી,$A$ માંથી પસાર થતી રેખાખંડ $BC$ એ $C_2$ નો વ્યાસ છે,તેથી $AC = 2r_2$. વર્તુળ $C_2$ માટે બિંદુ $B$ ના સંદર્ભમાં 'પાવર ઓફ અ પોઈન્ટ' પ્રમેય મુજબ: $BA_2 	imes BA_3 = BA 	imes BC = (2r_1) 	imes (2r_1 + 2r_2) = 4r_1(r_1 + r_2)$. $BA_2 = 3$ અને $BA_3 = 4$ આપેલ હોવાથી,$3 	imes 4 = 4r_1(r_1 + r_2)$,જેનું સાદું રૂપ $r_1^2 + r_1r_2 = 3$ થાય છે (સમીકરણ $i$). ધારો કે $M$ એ $C_1$ માં જીવા $BA_1$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $BM = \frac{1}{2}BA_1 = 1$. ધારો કે $N$ એ $C_2$ માં જીવા $A_2A_3$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $BN = BA_2 + \frac{1}{2}A_2A_3 = 3 + \frac{1}{2}(4-3) = 3.5 = \frac{7}{2}$. કેન્દ્રો $P$ અને $Q$ થી છેદિકા રેખા પરના લંબને ધ્યાનમાં લેતા,આપણને સમરૂપ ત્રિકોણો $	riangle BMP \sim 	riangle BNQ$ મળે છે. તેથી,$\frac{BM}{BN} = \frac{BP}{BQ} = \frac{r_1}{2r_1 + r_2}$. કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{7/2} = \frac{r_1}{2r_1 + r_2} \Rightarrow \frac{2}{7} = \frac{r_1}{2r_1 + r_2} \Rightarrow 4r_1 + 2r_2 = 7r_1 \Rightarrow 2r_2 = 3r_1$ (સમીકરણ $ii$). સમીકરણ $ii$ માંથી $r_2 = 1.5r_1$ ને સમીકરણ $i$ માં મૂકતા: $r_1^2 + r_1(1.5r_1) = 3 \Rightarrow 2.5r_1^2 = 3 \Rightarrow r_1^2 = \frac{3}{2.5} = \frac{6}{5} \Rightarrow r_1 = \sqrt{\frac{6}{5}} = \frac{\sqrt{30}}{5}$. તેથી $r_2 = 1.5 	imes \frac{\sqrt{30}}{5} = \frac{3}{2} 	imes \frac{\sqrt{30}}{5} = \frac{3\sqrt{30}}{10}$. આમ,ત્રિજ્યાઓ $\frac{\sqrt{30}}{5}$ અને $\frac{3\sqrt{30}}{10}$ છે.

Similar Questions

જો $\sin ^{-1}(a)$ એ બિંદુ $(2,2)$ આગળ વક્રો $x^2+y^2=4x$ અને $x^2+y^2=8$ વચ્ચેનો લઘુકોણ હોય,તો $a$ ની કિંમત શોધો.

બિંદુ $(2, -7)$ થી વર્તુળ $x^2 + y^2 - 14x - 10y - 151 = 0$ ના સૌથી મોટા અને સૌથી ટૂંકા અંતરનો ગુણોત્તર કેટલો છે?

જો વર્તુળ $x^2+y^2-6x-8y+9=0$ ની જીવા $2x+3y+k=0$ ની લંબાઈ $2\sqrt{3}$ હોય,તો $k$ ની એક કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module