मान लीजिए R,N पर परिभाषित एक संबंध है जहाँ a | vedclass

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Question

(D) $1$. स्वतुल्यता: किसी भी $a \in N$ के लिए,$2a + 3a = 5a$,जो $5$ का एक गुणज है। अतः,सभी $a \in N$ के लिए $a R a$ सत्य है। इसलिए,$R$ स्वतुल्य है।$2$

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एक तुल्यता संबंध

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(D) $1$. स्वतुल्यता: किसी भी $a \in N$ के लिए,$2a + 3a = 5a$,जो $5$ का एक गुणज है। अतः,सभी $a \in N$ के लिए $a R a$ सत्य है। इसलिए,$R$ स्वतुल्य है।$2$. सममितता: मान लीजिए $a R b$,तो किसी पूर्णांक $k$ के लिए $2a + 3b = 5k$ है।हमें यह जांचना है कि क्या $b R a$ सत्य है,अर्थात क्या $2b + 3a$,$5$ का गुणज है।ध्यान दें कि $(2a + 3b) + (2b + 3a) = 5a + 5b = 5(a + b)$ है।चूंकि $2a + 3b = 5k$,इसलिए $2b + 3a = 5(a + b) - 5k = 5(a + b - k)$ है।चूंकि $a, b, k$ पूर्णांक हैं,$5(a + b - k)$ $5$ का एक गुणज है। अतः,$b R a$ सत्य है। इसलिए,$R$ सममित है।$3$. संक्रामकता: मान लीजिए $a R b$ और $b R c$ है।तो कुछ पूर्णांकों $k_1, k_2$ के लिए $2a + 3b = 5k_1$ और $2b + 3c = 5k_2$ है।हमें यह जांचना है कि क्या $a R c$ सत्य है,अर्थात क्या $2a + 3c$,$5$ का गुणज है।$2a + 3b = 5k_1$ से,$2a = 5k_1 - 3b$ है।$2b + 3c = 5k_2$ से,$3c = 5k_2 - 2b$ है।इन दोनों को जोड़ने पर,$2a + 3c = 5k_1 + 5k_2 - 5b = 5(k_1 + k_2 - b)$ प्राप्त होता है।चूंकि $k_1, k_2, b$ पूर्णांक हैं,$2a + 3c$ $5$ का एक गुणज है। अतः,$a R c$ सत्य है। इसलिए,$R$ संक्रामक है।चूंकि $R$ स्वतुल्य,सममित और संक्रामक है,इसलिए यह एक तुल्यता संबंध है।

मान लीजिए $R$,$N$ पर परिभाषित एक संबंध है जहाँ $a R b$ का अर्थ है कि $2a + 3b$,$5$ का एक गुणज है,जहाँ $a, b \in N$ है। तो $R$ है

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एक ऐसे संबंध का उदाहरण दीजिए जो स्वतुल्य (reflexive) और संक्रामक (transitive) है लेकिन सममित (symmetric) नहीं है।

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