मान लीजिए R सभी पूर्णांकों के समुच्चय Z पर पर | vedclass

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Question

(C) स्वतुल्यता: $x \in Z$ के लिए, हम जाँचते हैं कि क्या $(x, x) \in R$ है। $x + 2x = 3x$, जो $3$ से विभाज्य है। अतः, $xRx$ सभी $x \in Z$ के लिए सत्य ह

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$R$ एक तुल्यता संबंध है

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(C) स्वतुल्यता: $x \in Z$ के लिए, हम जाँचते हैं कि क्या $(x, x) \in R$ है। $x + 2x = 3x$, जो $3$ से विभाज्य है। अतः, $xRx$ सभी $x \in Z$ के लिए सत्य है, इसलिए $R$ स्वतुल्य है। सममितता: मान लीजिए $(x, y) \in R$, जिसका अर्थ है कि $x + 2y = 3\lambda$ किसी पूर्णांक $\lambda$ के लिए। तब $x = 3\lambda - 2y$। हम $y + 2x$ की जाँच करते हैं: $y + 2x = y + 2(3\lambda - 2y) = y + 6\lambda - 4y = 6\lambda - 3y = 3(2\lambda - y)$। चूँकि $3(2\lambda - y)$, $3$ से विभाज्य है, इसलिए $(y, x) \in R$। अतः, $R$ सममित है। संक्रामकता: मान लीजिए $(x, y) \in R$ और $(y, z) \in R$। तब $x + 2y = 3\lambda$ और $y + 2z = 3\mu$ किन्हीं पूर्णांकों $\lambda, \mu$ के लिए। दोनों को जोड़ने पर: $(x + 2y) + (y + 2z) = 3\lambda + 3\mu \Rightarrow x + 3y + 2z = 3(\lambda + \mu)$। $x + 2z = 3(\lambda + \mu) - 3y = 3(\lambda + \mu - y)$। चूँकि $x + 2z$, $3$ से विभाज्य है, इसलिए $(x, z) \in R$। अतः, $R$ संक्रामक है। निष्कर्ष: चूँकि $R$ स्वतुल्य, सममित और संक्रामक है, इसलिए यह एक तुल्यता संबंध है।

मान लीजिए $R$ सभी पूर्णांकों के समुच्चय $Z$ पर परिभाषित एक संबंध है, जहाँ $x R y$ यदि और केवल यदि $x+2y$, $3$ से विभाज्य है। तो:

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