मान लीजिए कि A क्षेत्र {(x, y): y geq x^2, y | vedclass

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Question

(B) यह क्षेत्र $y = x^2$,$y = (1-x)^2$,और $y = 2x(1-x)$ द्वारा घिरा हुआ है।सबसे पहले,प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें:$x^2 = 2x(1-x) \Rightarrow x^2 = 2x

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$25$

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(B) यह क्षेत्र $y = x^2$,$y = (1-x)^2$,और $y = 2x(1-x)$ द्वारा घिरा हुआ है।सबसे पहले,प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें:$x^2 = 2x(1-x) \Rightarrow x^2 = 2x - 2x^2 \Rightarrow 3x^2 - 2x = 0 \Rightarrow x(3x-2) = 0$. अतः $x = 0$ या $x = 2/3$.$(1-x)^2 = 2x(1-x) \Rightarrow 1-2x+x^2 = 2x-2x^2 \Rightarrow 3x^2-4x+1 = 0 \Rightarrow (3x-1)(x-1) = 0$. अतः $x = 1/3$ या $x = 1$.$x^2 = (1-x)^2 \Rightarrow x^2 = 1-2x+x^2 \Rightarrow 2x = 1 \Rightarrow x = 1/2$.यह क्षेत्र $x = 1/2$ के सापेक्ष सममित है। क्षेत्रफल $A$ इस प्रकार है:$A = 2 \int_{1/3}^{1/2} (2x(1-x) - (1-x)^2) dx$$A = 2 \int_{1/3}^{1/2} (-3x^2 + 4x - 1) dx$$A = 2 [-x^3 + 2x^2 - x]_{1/3}^{1/2}$गणना करने पर,$A = 5/108$ प्राप्त होता है।अतः,$540A = 540 	imes (5 / 108) = 25$.

Column-$I$	Column-$II$
$(A)$ एक त्रिभुज $\triangle XYZ$ में,मान लीजिए $a, b$ और $c$ क्रमशः कोणों $X, Y$ और $Z$ के सम्मुख भुजाओं की लंबाई हैं। यदि $2(a^2-b^2)=c^2$ और $\lambda=\frac{\sin(X-Y)}{\sin Z}$ है,तो $n$ के संभावित मान जिनके लिए $\cos(n\pi\lambda)=0$ है,वे हैं	$(P)$ $1$
$(B)$ एक त्रिभुज $\triangle XYZ$ में,मान लीजिए $a, b$ और $c$ क्रमशः कोणों $X, Y$ और $Z$ के सम्मुख भुजाओं की लंबाई हैं। यदि $1+\cos 2X-2\cos 2Y=2\sin X\sin Y$ है,तो $\frac{a}{b}$ का संभावित मान (मानों) है	$(Q)$ $2$
$(C)$ $\mathbb{R}^2$ में,मान लीजिए $\sqrt{3}\hat{i}+\hat{j}$,$\hat{i}+\sqrt{3}\hat{j}$ और $\beta\hat{i}+(1-\beta)\hat{j}$ क्रमशः मूल बिंदु $O$ के सापेक्ष $X, Y$ और $Z$ के स्थिति सदिश हैं। यदि $\overline{OX}$ और $\overline{OY}$ के बीच के न्यून कोण के समद्विभाजक से $Z$ की दूरी $\frac{3}{\sqrt{2}}$ है,तो $\|\beta\|$ का संभावित मान (मानों) है	$(R)$ $3$
$(D)$ मान लीजिए कि $F(\alpha)$ उस क्षेत्र का क्षेत्रफल दर्शाता है जो $x=0, x=2, y^2=4x$ और $y=\|\alpha x-1\|+\|\alpha x-2\|+\alpha x$ द्वारा घिरा है,जहाँ $\alpha \in \{0, 1\}$ है। तो जब $\alpha=0$ और $\alpha=1$ है,तब $F(\alpha)+\frac{8}{3}\sqrt{2}$ का मान (मानों) है	$(S)$ $5$
	$(T)$ $6$

मान लीजिए कि $A$ क्षेत्र $\{(x, y): y \geq x^2, y \geq(1-x)^2, y \leq 2x(1-x)\}$ का क्षेत्रफल है। तो $540A$ का मान ज्ञात कीजिए।

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