मान लीजिए I(x) = int frac{x^2(x sec^2 x + tan | vedclass

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Question

(C) हमें दिया गया है $I(x) = \int \frac{x^2(x \sec^2 x + 	an x)}{(x 	an x + 1)^2} dx$। खंडशः समाकलन (Integration by parts) का उपयोग करते हुए,$u = x^

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$\log_e \frac{(\pi+4)^2}{32} - \frac{\pi^2}{4(\pi+4)}$

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(C) हमें दिया गया है $I(x) = \int \frac{x^2(x \sec^2 x + 	an x)}{(x 	an x + 1)^2} dx$। खंडशः समाकलन (Integration by parts) का उपयोग करते हुए,$u = x^2$ और $dv = \frac{x \sec^2 x + 	an x}{(x 	an x + 1)^2} dx$ लें। चूंकि $(x 	an x + 1)$ का अवकलन $(x \sec^2 x + 	an x)$ है,इसलिए $v = -\frac{1}{x 	an x + 1}$ होगा। सूत्र $\int u dv = uv - \int v du$ का उपयोग करने पर: $I(x) = -\frac{x^2}{x 	an x + 1} + 2 \int \frac{x \cos x}{x \sin x + \cos x} dx$। चूंकि $(x \sin x + \cos x)$ का अवकलन $x \cos x$ है,इसलिए समाकलन $2 \ln |x \sin x + \cos x| + C$ होगा। $I(x) = -\frac{x^2}{x 	an x + 1} + 2 \ln |x \sin x + \cos x| + C$। $I(0) = 0$ रखने पर,हमें $C = 0$ प्राप्त होता है। $x = \frac{\pi}{4}$ रखने पर,$I(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\pi^2}{4(\pi+4)} + \ln \frac{(\pi+4)^2}{32}$।

मान लीजिए $I(x) = \int \frac{x^2(x \sec^2 x + \tan x)}{(x \tan x + 1)^2} dx$ है। यदि $I(0) = 0$ है,तो $I(\frac{\pi}{4})$ का मान ज्ञात कीजिए।

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