मान लीजिए a_1, a_2, a_3, ldots, a_n एक समांतर | vedclass

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Question

(A) मान लीजिए दी गई अभिव्यक्ति $S_n = \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{\sqrt{a_k} + \sqrt{a_{k+1}}}$ है।प्रत्येक पद का परिमेयकरण करने पर,हमें प्राप्त होता है

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$1$

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(A) मान लीजिए दी गई अभिव्यक्ति $S_n = \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{\sqrt{a_k} + \sqrt{a_{k+1}}}$ है।प्रत्येक पद का परिमेयकरण करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{1}{\sqrt{a_k} + \sqrt{a_{k+1}}} = \frac{\sqrt{a_{k+1}} - \sqrt{a_k}}{a_{k+1} - a_k} = \frac{\sqrt{a_{k+1}} - \sqrt{a_k}}{d}$।अतः,$S_n = \frac{1}{d} \sum_{k=1}^{n-1} (\sqrt{a_{k+1}} - \sqrt{a_k}) = \frac{\sqrt{a_n} - \sqrt{a_1}}{d}$।सीमा $\lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt{\frac{d}{n}} \cdot \frac{\sqrt{a_n} - \sqrt{a_1}}{d} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{a_n} - \sqrt{a_1}}{\sqrt{nd}}$ हो जाती है।चूंकि $a_n = a_1 + (n-1)d$,जैसे $n \rightarrow \infty$,$a_n \approx nd$।इसलिए,सीमा $\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{nd} - \sqrt{a_1}}{\sqrt{nd}} = \lim_{n \rightarrow \infty} \left( 1 - \frac{\sqrt{a_1}}{\sqrt{nd}} \right) = 1$ है।

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