मान लीजिए $A_1$ और $A_2$ दो समांतर माध्य हैं और $G_1, G_2, G_3$ दो अलग-अलग धनात्मक संख्याओं $a$ और $b$ के बीच तीन गुणोत्तर माध्य हैं। तो $G_1^4 + G_2^4 + G_3^4 + G_1^2 G_3^2$ का मान क्या होगा?

माना $S_{n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \frac{1}{20} + \ldots$ $n$ पदों तक है। यदि $-p$ प्रथम पद और $p$ सार्व अंतर वाली एक $A.P.$ के प्रथम छह पदों का योग $\sqrt{2026 S_{2025}}$ है,तो $A.P.$ के $20$ वें और $15$ वें पद के बीच का निरपेक्ष अंतर क्या है?

एक $G.P.$ के तीन क्रमागत पदों का गुणनफल $512$ है। यदि इन पदों में से पहले और दूसरे पद में $4$ जोड़ा जाता है,तो ये तीन पद अब एक $A.P.$ बनाते हैं। तो दिए गए $G.P.$ के मूल तीन पदों का योग क्या है?

यदि $x=\sum_{n=0}^{\infty} \cos ^{2 n} \theta$,$y=\sum_{n=0}^{\infty} \sin ^{2 n} \theta$,$z=\sum_{n=0}^{\infty} \cos ^{2 n} \theta \sin ^{2 n} \theta$ और $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ है,तो

$a_{1} = -1$ और $n \geq 2$ के लिए $a_{n} = \frac{a_{n-1}}{n}$ द्वारा परिभाषित अनुक्रम के पहले पाँच पद लिखिए और संगत श्रेणी प्राप्त कीजिए।

मान लीजिए $n \geq 4$ एक धनात्मक पूर्णांक है और $l_1, l_2, \ldots, l_n$ एक $n$-भुजा वाले बहुभुज $P$ की भुजाओं की लंबाई है। मान लीजिए $\frac{l_1}{l_2} + \frac{l_2}{l_3} + \ldots + \frac{l_{n-1}}{l_n} + \frac{l_n}{l_1} = n$. निम्नलिखित कथनों पर विचार करें:
$I$. $P$ की भुजाओं की लंबाई समान है।
$II$. $P$ के कोण समान हैं।
$III$. यदि $P$ चक्रीय है तो यह एक नियमित बहुभुज है।