मान लीजिए A एक 3 times 3 आव्यूह है और det(A)= | vedclass

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Question

(A) दिया गया है कि $A$ एक $3 	imes 3$ आव्यूह है,इसलिए $|A| = 2$ है। आव्यूह $A$ के $k$-वें पुनरावृत्त एडजॉइंट के सारणिक का सूत्र $\det(\operatorname{a

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$7$

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(A) दिया गया है कि $A$ एक $3 	imes 3$ आव्यूह है,इसलिए $|A| = 2$ है। आव्यूह $A$ के $k$-वें पुनरावृत्त एडजॉइंट के सारणिक का सूत्र $\det(\operatorname{adj}^k(A)) = |A|^{(n-1)^k}$ है,जहाँ $n$ आव्यूह की कोटि है। यहाँ,$n=3$ और $k=2024$ है। अतः,$n = |A|^{(3-1)^{2024}} = 2^{2^{2024}}$ है। हमें $2^{2^{2024}} \pmod{9}$ ज्ञात करना है। यूलर के टॉटिएंट प्रमेय के अनुसार,$\phi(9) = 6$ है। हम $2^{2024} \pmod{6}$ ज्ञात करते हैं। $2^{2024} \equiv 0 \pmod{2}$ और $2^{2024} = 4^{1012} \equiv 1^{1012} \equiv 1 \pmod{3}$ है। चाइनीज रिमाइंडर प्रमेय द्वारा,$2^{2024} \equiv 4 \pmod{6}$ है। अतः,$2^{2024} = 6k + 4$ है। इसलिए,$n = 2^{6k+4} = (2^6)^k \cdot 2^4 = 64^k \cdot 16$ है। चूँकि $64 \equiv 1 \pmod{9}$ है,इसलिए $n \equiv 1^k \cdot 16 \equiv 16 \equiv 7 \pmod{9}$ है। अतः,शेषफल $7$ है।

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