ધારો કે f:(0, infty) rightarrow mathbb{R} એક | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ સુરેખ વિકલ સમીકરણ $f^{\prime}(x) + \frac{f(x)}{x} = 2$ છે.સંકલ્યકારક અવયવ $e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\ln x} = x$ છે.સંકલ્યકારક અવયવ વડે ગુ

Vedclass · Accepted Answer

$\lim _{x \rightarrow 0+} f^{\prime}\left(\frac{1}{x}\right)=1$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ સુરેખ વિકલ સમીકરણ $f^{\prime}(x) + \frac{f(x)}{x} = 2$ છે.સંકલ્યકારક અવયવ $e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\ln x} = x$ છે.સંકલ્યકારક અવયવ વડે ગુણતા,આપણને $\frac{d}{dx}(x f(x)) = 2x$ મળે છે.બંને બાજુ સંકલન કરતા,$x f(x) = x^2 + c$,જે તમામ $x \in (0, \infty)$ માટે $f(x) = x + \frac{c}{x}$ આપે છે.આપેલ છે કે $f(1) 
eq 1$,તેથી $1 + c 
eq 1$,એટલે કે $c 
eq 0$.હવે,$f^{\prime}(x) = 1 - \frac{c}{x^2}$.વિકલ્પ $A$ ચકાસતા: $\lim _{x ightarrow 0+} f^{\prime}\left(\frac{1}{x}ight) = \lim _{x ightarrow 0+} (1 - c x^2) = 1$.વિકલ્પ $B$ ચકાસતા: $\lim _{x ightarrow 0+} x f\left(\frac{1}{x}ight) = \lim _{x ightarrow 0+} x \left(\frac{1}{x} + cxight) = \lim _{x ightarrow 0+} (1 + cx^2) = 1 
eq 2$.વિકલ્પ $C$ ચકાસતા: $\lim _{x ightarrow 0+} x^2 f^{\prime}(x) = \lim _{x ightarrow 0+} x^2 (1 - \frac{c}{x^2}) = \lim _{x ightarrow 0+} (x^2 - c) = -c 
eq 0$.આમ,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

ધારો કે $f:(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ એક વિકલનીય વિધેય છે જેથી તમામ $x \in(0, \infty)$ માટે $f^{\prime}(x)=2-\frac{f(x)}{x}$ અને $f(1) \neq 1$ છે. તો

Similar Questions

જો $\frac{dy}{dx} + \frac{3}{\cos^2 x} y = \frac{1}{\cos^2 x}$,$x \in \left( -\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3} \right)$ અને $y\left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{4}{3}$ હોય,તો $y\left( -\frac{\pi}{4} \right)$ ની કિંમત શોધો.

પ્રાથમિક સંકલન સમીકરણ $ydx + y^2dy = xdy$ ; $x \in R$,$y > 0$,$y = y(x)$,$y(1) = 1$ માટે,$y(-3)$ ની કિંમત શોધો.

જો $y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $x \frac{d y}{d x}+2 y=x e^{x}, y(1)=0$ નો ઉકેલ હોય,તો વિધેય $z(x)=x^{2} y(x)-e^{x}$,$x \in R$ ની સ્થાનિક મહત્તમ કિંમત શોધો.

વિકલ સમીકરણ $x \frac{dy}{dx} + y \log x = x^2$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module