मान लीजिए f: R rightarrow R एक ऐसा फलन है कि | vedclass

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Question

(B, C) दिया गया फलन समीकरण $f(x+y)=f(x)+f(y)$ कौशी का फलन समीकरण है।$x=0, y=0$ रखने पर,हमें $f(0)=f(0)+f(0)$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $f(0)=0$।चू

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$f(x)$ सभी $x \in R$ के लिए सतत है

Vedclass · Answer

(B, C) दिया गया फलन समीकरण $f(x+y)=f(x)+f(y)$ कौशी का फलन समीकरण है।$x=0, y=0$ रखने पर,हमें $f(0)=f(0)+f(0)$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $f(0)=0$।चूंकि $f(x)$ बिंदु $x=0$ पर अवकलनीय है,इसलिए $f^{\prime}(0) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(0+h)-f(0)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(h)}{h} = k$ (जहाँ $k$ एक अचर है)।अब,किसी भी $x \in R$ के लिए,अवकलज $f^{\prime}(x)$ इस प्रकार है:$f^{\prime}(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x)+f(h)-f(x)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(h)}{h} = f^{\prime}(0) = k$।चूंकि $f^{\prime}(x) = k$ सभी $x \in R$ के लिए सत्य है,इसलिए $f^{\prime}(x)$ एक अचर फलन है।$f^{\prime}(x) = k$ का समाकलन करने पर,हमें $f(x) = kx + C$ प्राप्त होता है। चूंकि $f(0)=0$,इसलिए $C=0$,अतः $f(x) = kx$।एक रैखिक फलन $f(x) = kx$ सभी $x \in R$ के लिए सतत और अवकलनीय होता है।अतः,कथन $(B)$ और $(C)$ सत्य हैं।

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मान लीजिए $f : R - \{0, 1\} \rightarrow R$ एक ऐसा फलन है कि $f(x) + f\left(\frac{1}{1-x}\right) = 1 + x$ है। तो $f(2)$ का मान ज्ञात कीजिए:

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यदि $f(x)$ एक अवकलनीय फलन है,जैसे कि सभी $x, y > 0$ के लिए $f(xy) = f(x) + f(y)$ है,तो $f(e) + f(1/e) = ?$

यदि $f(x)$ और $g(x)$ दो वास्तविक मान वाले फलन इस प्रकार हैं कि $f(g(x+y)) = f(g(x)) + f(g(y))$,$g(1) = 2$ और $f(2) = 1$,तो फलन $g(f(x))$ किस समुच्चय पर असंतत है?

यदि $f: R \rightarrow R$ को $f(x+y)=f(x)+f(y)$ सभी $x, y \in R$ के लिए परिभाषित किया गया है और $f(1)=7$ है,तो $\sum_{r=1}^n f(r)=$

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