ધારો કે f: R rightarrow R એક એવું વિધેય છે કે | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B, C) આપેલ વિધેય સમીકરણ $f(x+y)=f(x)+f(y)$ એ કોશીનું વિધેય સમીકરણ છે.$x=0, y=0$ લેતા,આપણને $f(0)=f(0)+f(0)$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $f(0)=0$.કારણ કે $

Vedclass · Accepted Answer

$f(x)$ એ $\forall x \in R$ માટે સતત છે

Vedclass · Answer

(B, C) આપેલ વિધેય સમીકરણ $f(x+y)=f(x)+f(y)$ એ કોશીનું વિધેય સમીકરણ છે.$x=0, y=0$ લેતા,આપણને $f(0)=f(0)+f(0)$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $f(0)=0$.કારણ કે $f(x)$ એ $x=0$ આગળ વિકલનીય છે,તેથી $f^{\prime}(0) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(0+h)-f(0)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(h)}{h} = k$ (જ્યાં $k$ એક અચળાંક છે).હવે,કોઈપણ $x \in R$ માટે,વિકલિત $f^{\prime}(x)$ નીચે મુજબ મળે:$f^{\prime}(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x)+f(h)-f(x)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(h)}{h} = f^{\prime}(0) = k$.કારણ કે $f^{\prime}(x) = k$ એ તમામ $x \in R$ માટે સાચું છે,તેથી $f^{\prime}(x)$ એક અચળ વિધેય છે.$f^{\prime}(x) = k$ નું સંકલન કરતા,આપણને $f(x) = kx + C$ મળે છે. $f(0)=0$ હોવાથી,$C=0$ મળે,તેથી $f(x) = kx$.સુરેખ વિધેય $f(x) = kx$ એ તમામ $x \in R$ માટે સતત અને વિકલનીય છે.આમ,વિધાનો $(B)$ અને $(C)$ સાચા છે.

ધારો કે $f: R \rightarrow R$ એક એવું વિધેય છે કે જેથી $f(x+y)=f(x)+f(y), \forall x, y \in R$. જો $f(x)$ એ $x=0$ આગળ વિકલનીય હોય,તો નીચેનામાંથી કયા વિધાનો સાચા છે?

Similar Questions

જો $f(x)$ એ બહુપદી વિધેય હોય જે શરત $f(x) \cdot f(1/x) = f(x) + f(1/x)$ અને $f(2) = 9$ નું પાલન કરે છે,તો:

ધારો કે $f: N \rightarrow N$ એક વિધેય છે જે દરેક $x, y \in N$ માટે $f(x+y)=f(x)+f(y)+xy$ નું પાલન કરે છે. જો $f(1)=2$ હોય,તો $\sum_{k=1}^{10} f(k)=$

ધારો કે $f(x+y)=f(x) \cdot f(y)$ તમામ $x, y \in R$ માટે છે. ધારો કે $f(3)=3$ અને $f^{\prime}(0)=11$ છે,તો $f^{\prime}(3)$ ની કિંમત શોધો.

જો $x_1, x_2 \in [-1, 1]$ માટે $f(x_1) - f(x_2) = f\left( \frac{x_1 - x_2}{1 - x_1 x_2} \right)$ હોય,તો $f(x)$ શું છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module