मान लीजिए {}^nC_{r-1}=28,{}^nC_r=56,और {}^nC_ | vedclass

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Question

(A) दिया है ${}^nC_{r-1} = 28$,${}^nC_r = 56$,और ${}^nC_{r+1} = 70$। गुणधर्म $\frac{{}^nC_r}{{}^nC_{r-1}} = \frac{n-r+1}{r}$ का उपयोग करने पर: $\frac{

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$20$

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(A) दिया है ${}^nC_{r-1} = 28$,${}^nC_r = 56$,और ${}^nC_{r+1} = 70$। गुणधर्म $\frac{{}^nC_r}{{}^nC_{r-1}} = \frac{n-r+1}{r}$ का उपयोग करने पर: $\frac{56}{28} = \frac{n-r+1}{r}$ $\Rightarrow 2r = n-r+1$ $\Rightarrow n = 3r-1$ $(i)$। इसी प्रकार,$\frac{{}^nC_{r+1}}{{}^nC_r} = \frac{n-r}{r+1} = \frac{70}{56} = \frac{5}{4}$। $4(n-r) = 5(r+1)$ $\Rightarrow 4n - 4r = 5r + 5$ $\Rightarrow 4n = 9r + 5$ (ii)। $(i)$ को (ii) में प्रतिस्थापित करने पर: $4(3r-1) = 9r+5$ $\Rightarrow 12r - 4 = 9r + 5$ $\Rightarrow 3r = 9$ $\Rightarrow r = 3$। अतः $n = 3(3)-1 = 8$। $C$ के निर्देशांक $(3(3)-8, 3^2-8-1) = (1, 0)$ हैं। $	riangle ABC$ का केंद्रक $(x, y)$ इस प्रकार है: $x = \frac{4 \cos t + 2 \sin t + 1}{3} \Rightarrow 3x - 1 = 4 \cos t + 2 \sin t$। $y = \frac{4 \sin t - 2 \cos t + 0}{3} \Rightarrow 3y = 4 \sin t - 2 \cos t$। वर्ग करके जोड़ने पर: $(3x-1)^2 + (3y)^2 = (4 \cos t + 2 \sin t)^2 + (4 \sin t - 2 \cos t)^2$। $= 16 \cos^2 t + 4 \sin^2 t + 16 \sin^2 t + 4 \cos^2 t = 20(\cos^2 t + \sin^2 t) = 20$। अतः $\alpha = 20$।

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