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Question

(D) दिया गया है $f(x) = \frac{2x+3}{5x+2}$ और $g(x) = \frac{2-3x}{1-x}$।हमें $(f \circ g)(x) = f(g(x))$ ज्ञात करना है।$(f \circ g)(x) = f\left(\frac{2

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$56$

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(D) दिया गया है $f(x) = \frac{2x+3}{5x+2}$ और $g(x) = \frac{2-3x}{1-x}$।हमें $(f \circ g)(x) = f(g(x))$ ज्ञात करना है।$(f \circ g)(x) = f\left(\frac{2-3x}{1-x}\right) = \frac{2\left(\frac{2-3x}{1-x}\right)+3}{5\left(\frac{2-3x}{1-x}\right)+2}$अंश और हर को $(1-x)$ से गुणा करने पर:$(f \circ g)(x) = \frac{2(2-3x) + 3(1-x)}{5(2-3x) + 2(1-x)} = \frac{4-6x+3-3x}{10-15x+2-2x} = \frac{7-9x}{12-17x}$.अब,अंतराल $[2, 4]$ के अंत बिंदुओं पर फलन का मान ज्ञात करते हैं:$(f \circ g)(2) = \frac{7-9(2)}{12-17(2)} = \frac{7-18}{12-34} = \frac{-11}{-22} = \frac{1}{2}$.$(f \circ g)(4) = \frac{7-9(4)}{12-17(4)} = \frac{7-36}{12-68} = \frac{-29}{-56} = \frac{29}{56}$.चूंकि फलन अंतराल $[2, 4]$ में एकदिष्ट (monotonic) है,इसलिए परिसर $[\alpha, \beta] = [\frac{1}{2}, \frac{29}{56}]$ होगा।यहाँ,$\alpha = \frac{1}{2}$ और $\beta = \frac{29}{56}$.अतः $\beta - \alpha = \frac{29}{56} - \frac{1}{2} = \frac{29-28}{56} = \frac{1}{56}$.इसलिए,$\frac{1}{\beta-\alpha} = 56$.

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