माना f: R rightarrow R चार घात वाला एक बहुपद | vedclass

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Question

(B) दिया गया है $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^2}=5$। चूंकि $f(x)$ चार घात का बहुपद है,मान लीजिए $f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e$। सीमा के

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$10$

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(B) दिया गया है $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^2}=5$। चूंकि $f(x)$ चार घात का बहुपद है,मान लीजिए $f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e$। सीमा के अस्तित्व और $5$ के बराबर होने के लिए,$e=0$,$d=0$ और $c=5$ होना चाहिए। अतः,$f(x) = ax^4 + bx^3 + 5x^2$। अवकलन करने पर,$f'(x) = 4ax^3 + 3bx^2 + 10x = x(4ax^2 + 3bx + 10)$। चूंकि $f(x)$ के चरम मान $x=4$ और $x=5$ पर हैं,इसलिए $f'(4)=0$ और $f'(5)=0$। $f'(4) = 64a + 12b + 10 = 0 \implies 32a + 6b = -5$। $f'(5) = 100a + 15b + 10 = 0 \implies 20a + 3b = -2$। इन समीकरणों को हल करने पर: $b = \frac{-2 - 20a}{3}$। पहले समीकरण में रखने पर: $32a + 2(-2 - 20a) = -5 \implies 32a - 4 - 40a = -5 \implies -8a = -1 \implies a = \frac{1}{8}$। तब $3b = -2 - 20(\frac{1}{8}) = -4.5 \implies b = -\frac{3}{2}$। अब,$f(2) = \frac{1}{8}(2^4) - \frac{3}{2}(2^3) + 5(2^2) = 2 - 12 + 20 = 10$।

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