मान लीजिए कि f(x) सभी वास्तविक x के लिए धनात् | vedclass

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Question

(C) दिया गया है $I_1 = \int_{1-h}^{h} x f(x(1-x)) dx$ और $I_2 = \int_{1-h}^{h} f(x(1-x)) dx$। गुणधर्म $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) dx

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{1}{2}$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया है $I_1 = \int_{1-h}^{h} x f(x(1-x)) dx$ और $I_2 = \int_{1-h}^{h} f(x(1-x)) dx$। गुणधर्म $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) dx$ का उपयोग करते हुए,यहाँ $a+b = (1-h) + h = 1$ है। $I_1$ पर यह गुणधर्म लागू करने पर: $I_1 = \int_{1-h}^{h} (1-x) f((1-x)(1-(1-x))) dx$ $I_1 = \int_{1-h}^{h} (1-x) f((1-x)x) dx$ $I_1 = \int_{1-h}^{h} f(x(1-x)) dx - \int_{1-h}^{h} x f(x(1-x)) dx$ $I_1 = I_2 - I_1$ $2I_1 = I_2$ अतः,$\frac{I_1}{I_2} = \frac{1}{2}$।

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निश्चित समाकलन $\int_{2}^{4} (x(3 - x)(4 + x)(6 - x)(10 - x) + \sin x) dx$ का मान क्या है?

माना $u = \int\limits_0^1 {\frac{{\ln (x + 1)}}{{{x^2} + 1}}} \,dx$ और $v = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\ln (\sin 2x)} \,dx$,तो:

$\int_0^{2a} f(x) dx - \int_a^{2a} f(x) dx =$

$\int_{0}^{100} e^{x-[x]} d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

$m, n \in \mathbb{Z}$ के लिए $\int_0^{2 \pi} \cos m x \cos n x \, dx + \int_{-\pi}^\pi \sin m x \cos n x \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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