मान लीजिए f: mathbb{Z} rightarrow mathbb{Z} क | vedclass

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Question

(B) पूर्णांकों के समुच्चय $\mathbb{Z}$ पर $f(x) = x^3 + 2$ एकैकी और आच्छादक है या नहीं,यह जाँचने के लिए:$1$. एकैकी जाँच: मान लीजिए $f(x_1) = f(x_2)$।

Vedclass · Accepted Answer

एकैकी है लेकिन आच्छादक नहीं

Vedclass · Answer

(B) पूर्णांकों के समुच्चय $\mathbb{Z}$ पर $f(x) = x^3 + 2$ एकैकी और आच्छादक है या नहीं,यह जाँचने के लिए:$1$. एकैकी जाँच: मान लीजिए $f(x_1) = f(x_2)$। तो $x_1^3 + 2 = x_2^3 + 2$,जिसका अर्थ है $x_1^3 = x_2^3$। चूँकि घन फलन एक वर्धमान फलन है,इसलिए $x_1 = x_2$ प्राप्त होता है। अतः,$f$ एकैकी है।$2$. आच्छादक जाँच: $f$ के आच्छादक होने के लिए,प्रत्येक $y \in \mathbb{Z}$ के लिए,एक ऐसा $x \in \mathbb{Z}$ होना चाहिए कि $y = x^3 + 2$ हो। इसका अर्थ है $x^3 = y - 2$,या $x = \sqrt[3]{y - 2}$। $x$ के पूर्णांक होने के लिए,$y - 2$ को एक पूर्ण घन होना चाहिए। उदाहरण के लिए,यदि $y = 3$ है,तो $x^3 = 3 - 2 = 1$,इसलिए $x = 1 \in \mathbb{Z}$। हालाँकि,यदि $y = 0$ है,तो $x^3 = 0 - 2 = -2$। चूँकि $-2$ किसी भी पूर्णांक का पूर्ण घन नहीं है,इसलिए ऐसा कोई $x \in \mathbb{Z}$ नहीं है जिसके लिए $f(x) = 0$ हो। इसलिए,$f$ आच्छादक नहीं है।निष्कर्ष: $f$ एकैकी है लेकिन आच्छादक नहीं है।

मान लीजिए $f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ को $f(x) = x^3 + 2$ द्वारा परिभाषित किया गया है। तो,$f$ . . . . . . है।

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$f(n) = \begin{cases} 2n, & n = 2, 4, 6, 8, \dots \\ n-1, & n = 3, 7, 11, 15, \dots \\ \frac{n+1}{2}, & n = 1, 5, 9, 13, \dots \end{cases}$
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यदि $f: R \rightarrow C$,$x \in R$ के लिए $f(x)=e^{2 i x}$ द्वारा परिभाषित है,तो $f$ है (जहाँ $C$ सभी सम्मिश्र संख्याओं के समुच्चय को दर्शाता है)

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