मान लीजिए $[P]$ सबसे बड़े पूर्णांक $\leq P$ को दर्शाता है। यदि $0 \leq a \leq 2$ है,तो $a$ के उन पूर्णांक मानों की संख्या ज्ञात कीजिए जिनके लिए $\lim _{x \rightarrow a}([x^2]-[x]^2)$ का अस्तित्व नहीं है:

$ABC$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है जो $r$ त्रिज्या वाले वृत्त में अंकित है। यदि $AB = AC$ और $h$,$A$ से $BC$ पर शीर्षलंब है,और $P$,$ABC$ का परिमाप है,तो $\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{\Delta }{{{P^3}}}$ का मान ज्ञात कीजिए (जहाँ $\Delta$ त्रिभुज का क्षेत्रफल है)।

$\mathop {\lim }\limits_{\theta \to \pi /6} \frac{{\cot^2 \theta - 3}}{{\csc \theta - 2}} = $

$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{2^2+4^2+6^2+\ldots+(2 n)^2}{n^3} = $

माना $f(x)=5-|x-2|$ और $g(x)=|x+1|$,$x \in R$ है। यदि $f(x)$ का अधिकतम मान $\alpha$ पर प्राप्त होता है और $g(x)$ का न्यूनतम मान $\beta$ पर प्राप्त होता है,तो $\lim _{x \rightarrow-\alpha \beta} \frac{(x-1)(x^2-5x+6)}{(x^2-6x+8)}$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n$ एक समांतर श्रेणी के $n$ धनात्मक क्रमिक पद हैं। यदि $d > 0$ इसका सार्व अंतर है,तो $\lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt{\frac{d}{n}} \left( \frac{1}{\sqrt{a_1} + \sqrt{a_2}} + \frac{1}{\sqrt{a_2} + \sqrt{a_3}} + \ldots + \frac{1}{\sqrt{a_{n-1}} + \sqrt{a_n}} \right)$ का मान ज्ञात कीजिए।