मान लीजिए $A = (a_{ij})$ एक $n \times n$ आव्यूह है जिसे $a_{ij} = \begin{cases} k^i, & \forall i=j \\ 0, & \text{अन्यथा} \end{cases}$ द्वारा परिभाषित किया गया है। यदि $m = \text{trace of } A$ और $\lim_{k \rightarrow 1} \frac{n-m}{1-k} = 171$ है, तो $n$ का मान ज्ञात कीजिए:

माना $d \in \mathbb{R}$,और $A = \begin{bmatrix} -2 & 4+d & \sin \theta - 2 \\ 1 & \sin \theta + 2 & d \\ 5 & 2\sin \theta - d & -\sin \theta + 2 + 2d \end{bmatrix}$,जहाँ $\theta \in [0, 2\pi]$ है। यदि $\det(A)$ का न्यूनतम मान $8$ है,तो $d$ का एक मान है

मान लीजिए कि तीन आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 1 \end{bmatrix}$,$B = \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$,और $C = \begin{bmatrix} 3 & -4 \\ -2 & 3 \end{bmatrix}$ हैं। तो $Tr(A) + Tr\left( \frac{ABC}{2} \right) + Tr\left( \frac{A(BC)^2}{4} \right) + Tr\left( \frac{A(BC)^3}{8} \right) + \dots + \infty$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $P$ और $Q$ दो $3 \times 3$ आव्यूह इस प्रकार हैं कि $|PQ|=1$ और $|P|=9$,तो $\text{adj}(P \cdot \text{adj}(3Q))$ का सारणिक ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $\alpha, \beta$ समीकरण $ax^2+bx+c=0$ के मूल हैं, जहाँ $a, b, c$ वास्तविक हैं। यदि $s_n = \alpha^n + \beta^n$ और $\left|\begin{array}{ccc}3 & 1+s_1 & 1+s_2 \\ 1+s_1 & 1+s_2 & 1+s_3 \\ 1+s_2 & 1+s_3 & 1+s_4\end{array}\right| = k \frac{(a+b+c)^2}{a^4}$ है, तो $k =$

$i=1, 2, 3$ और $j=1, 2, 3$ के लिए। यदि $a_i^2+b_i^2+c_i^2=1$,$a_i a_j+b_i b_j+c_i c_j=0$,$\forall i \neq j$ और $A=\begin{bmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{bmatrix}$ है,तो $\det(AA^T)=$