ધારો કે $a, b, c \notin \{0, 1\}$. જો સમીકરણોની સંહતિ $\Pi_1 \equiv x+ay+az=0, \Pi_2 \equiv bx+y+bz=0, \Pi_3 \equiv cx+cy+z=0$ નો શૂન્યેતર ઉકેલ હોય, તો સમીકરણોની સંહતિ $\Pi_1=a, \Pi_2=b, \Pi_3=c$ પાસે

સમીકરણોની સંહતિ $\begin{cases} \alpha x + y + z = \alpha - 1 \\ x + \alpha y + z = \alpha - 1 \\ x + y + \alpha z = \alpha - 1 \end{cases}$ ને કોઈ ઉકેલ નથી,જો $\alpha = $

જો સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ: $x + y + z = 6, x + 2y + 5z = 10, 2x + 3y + \lambda z = \mu$ ને અનંત ઉકેલો હોય, તો $\lambda + \mu$ ની કિંમત કેટલી થાય?

સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ $(\sin \theta) x + y - 2z = 0$, $2x - y + (\cos \theta) z = 0$ અને $-3x + (\sec \theta) y + 3z = 0$, જ્યાં $\theta \neq (2n + 1) \frac{\pi}{2}$, માટે અશૂન્ય ઉકેલ ક્યારે મળે?

ધારો કે $S$ એ તમામ સ્તંભ શ્રેણિકો $\left[\begin{array}{l}b_1 \\ b_2 \\ b_3\end{array}\right]$ નો ગણ છે,જ્યાં $b_1, b_2, b_3 \in \mathbb{R}$ અને સમીકરણોની સંહતિ (વાસ્તવિક ચલોમાં)
$-x+2y+5z=b_1$
$2x-4y+3z=b_2$
$x-2y+2z=b_3$
ને ઓછામાં ઓછો એક ઉકેલ છે. તો,નીચેનામાંથી કઈ સંહતિ(ઓ) (વાસ્તવિક ચલોમાં) દરેક $\left[\begin{array}{l}b_1 \\ b_2 \\ b_3\end{array}\right] \in S$ માટે ઓછામાં ઓછો એક ઉકેલ ધરાવે છે?
$(A)$ $x+2y+3z=b_1, 4y+5z=b_2$ અને $x+2y+6z=b_3$
$(B)$ $x+y+3z=b_1, 5x+2y+6z=b_2$ અને $-2x-y-3z=b_3$
$(C)$ $-x+2y-5z=b_1, 2x-4y+10z=b_2$ અને $x-2y+5z=b_3$
$(D)$ $x+2y+5z=b_1, 2x+3z=b_2$ અને $x+4y-5z=b_3$

જો સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ : $x+y+2z=6$,$2x+3y+az=a+1$,$-x-3y+bz=2b$ જ્યાં $a, b \in R$,ને અનંત ઉકેલો હોય,તો $7a+3b$ ની કિંમત શોધો :