मान लीजिए f: R rightarrow R एक बाइजेक्शन है। | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $y=f(x)$। बिंदु $P$ $(\alpha, 1)$ है।$P(\alpha, 1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y-1=f^{\prime}(\alpha)(x-\alpha)$ है।$y=0$ रखने पर, $X$-

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$x-y=0$

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(A) दिया गया है $y=f(x)$। बिंदु $P$ $(\alpha, 1)$ है।$P(\alpha, 1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y-1=f^{\prime}(\alpha)(x-\alpha)$ है।$y=0$ रखने पर, $X$-अंतःखंड $A$, $\alpha - \frac{1}{f^{\prime}(\alpha)}$ है। अतः $A = (\alpha - \frac{1}{f^{\prime}(\alpha)}, 0)$।$P(\alpha, 1)$ पर अभिलंब का समीकरण $y-1=-\frac{1}{f^{\prime}(\alpha)}(x-\alpha)$ है।$y=0$ रखने पर, $X$-अंतःखंड $B$, $\alpha + f^{\prime}(\alpha)$ है। अतः $B = (\alpha + f^{\prime}(\alpha), 0)$।बिंदु $C$ $(\alpha, 0)$ है।तब $AC = |\alpha - (\alpha - \frac{1}{f^{\prime}(\alpha)})| = \frac{1}{f^{\prime}(\alpha)}$ और $CB = |(\alpha + f^{\prime}(\alpha)) - \alpha| = f^{\prime}(\alpha)$।हमें $AC+CB = \frac{1}{f^{\prime}(\alpha)} + f^{\prime}(\alpha)$ को न्यूनतम करना है।$AM$-$GM$ असमिका के अनुसार, $\frac{1}{f^{\prime}(\alpha)} + f^{\prime}(\alpha) \geq 2 \sqrt{\frac{1}{f^{\prime}(\alpha)} \cdot f^{\prime}(\alpha)} = 2$।न्यूनतम मान तब प्राप्त होता है जब $f^{\prime}(\alpha) = 1$।$P$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $f^{\prime}(\alpha) = 1$ है।स्पर्श रेखा के समानांतर रेखा की ढाल $1$ होनी चाहिए। रेखा $x-y=0$ की ढाल $1$ है।

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