मान लीजिए f: mathbb{R} rightarrow mathbb{R} इ | vedclass

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Question

(B) दिया गया है कि सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $|f^{\prime}(x)| \leq 5$ है।
माध्य मान प्रमेय (Mean Value Theorem) के अनुसार, किसी भी $x$ के लिए, $0

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$[-5, 5]$

Vedclass · Answer

(B) दिया गया है कि सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $|f^{\prime}(x)| \leq 5$ है।
माध्य मान प्रमेय (Mean Value Theorem) के अनुसार, किसी भी $x$ के लिए, $0$ और $x$ के बीच एक ऐसा $c$ मौजूद है कि $f(x) - f(0) = f^{\prime}(c)(x - 0)$।
चूंकि $f(0) = 0$, हमारे पास $f(x) = f^{\prime}(c) \cdot x$ है।
$x = 1$ के लिए, $f(1) = f^{\prime}(c) \cdot 1 = f^{\prime}(c)$।
चूंकि $|f^{\prime}(c)| \leq 5$, इसलिए $|f(1)| \leq 5$ होता है।
वैकल्पिक रूप से, समाकलन का उपयोग करते हुए:
$\int_{0}^{1} -5 \, dx \leq \int_{0}^{1} f^{\prime}(x) \, dx \leq \int_{0}^{1} 5 \, dx$
$-5 \leq f(1) - f(0) \leq 5$
चूंकि $f(0) = 0$, हमें $-5 \leq f(1) \leq 5$ प्राप्त होता है।
अतः, $f(1) \in [-5, 5]$।

मान लीजिए $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ इस प्रकार है कि $f(0)=0$ और सभी $x$ के लिए $|f^{\prime}(x)| \leq 5$ है। तो $f(1)$ किसमें स्थित है?

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