मान लीजिए f: R rightarrow R को f(x) = frac{x^ | vedclass

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Question

(A) मान लीजिए $y = \frac{x^2-x+4}{x^2+x+4}$ है।दोनों पक्षों को $(x^2+x+4)$ से गुणा करने पर, $y(x^2+x+4) = x^2-x+4$ प्राप्त होता है।पदों को पुनर्व्यवस्

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$[\frac{3}{5}, \frac{5}{3}]$

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(A) मान लीजिए $y = \frac{x^2-x+4}{x^2+x+4}$ है।दोनों पक्षों को $(x^2+x+4)$ से गुणा करने पर, $y(x^2+x+4) = x^2-x+4$ प्राप्त होता है।पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर, $(y-1)x^2 + (y+1)x + (4y-4) = 0$ प्राप्त होता है।$x$ के वास्तविक होने के लिए, विविक्तकर (discriminant) $D \geq 0$ होना चाहिए।$D = (y+1)^2 - 4(y-1)(4y-4) \geq 0$.$(y+1)^2 - 16(y-1)^2 \geq 0$.सर्वसमिका $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ का उपयोग करने पर, $((y+1) - 4(y-1))((y+1) + 4(y-1)) \geq 0$.$(y+1-4y+4)(y+1+4y-4) \geq 0$.$(5-3y)(5y-3) \geq 0$.$-1$ से गुणा करने पर असमिका बदल जाती है: $(3y-5)(5y-3) \leq 0$.मूल $y = \frac{5}{3}$ और $y = \frac{3}{5}$ हैं।अतः, परिसर $y \in [\frac{3}{5}, \frac{5}{3}]$ है।

मान लीजिए $f: R \rightarrow R$ को $f(x) = \frac{x^2-x+4}{x^2+x+4}$ के रूप में परिभाषित किया गया है। तो, फलन $f(x)$ का परिसर (range) क्या है?

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वास्तविक मान वाले फलन $f(x) = ([x]^2 - [x] - 2)^{-1/2}$ का प्रांत (domain) ज्ञात कीजिए,जहाँ $[\cdot]$ महत्तम पूर्णांक फलन है।

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