मान लीजिए $f(x)$ एक अवकलनीय फलन है, $f^{\prime}(x) > f(x)$ और $f(0) = 0$ है। तो

माना $f(x) = \lim_{n}$ ${\rightarrow \infty} \left( \frac{n^n(x+n)(x+\frac{n}{2}) \cdots (x+\frac{n}{n})}{n!(x^2+n^2)(x^2+\frac{n^2}{4}) \cdots (x^2+\frac{n^2}{n^2})} \right)^{\frac{x}{n}}$,सभी $x > 0$ के लिए। तो
$(A)$ $f(\frac{1}{2}) \geq f(1)$
$(B)$ $f(\frac{1}{3}) \leq f(\frac{2}{3})$
$(C)$ $f^{\prime}(2) \leq 0$
$(D)$ $\frac{f^{\prime}(3)}{f(3)} \geq \frac{f^{\prime}(2)}{f(2)}$

मान लीजिए कि $f: (-\infty, \infty) - \{0\} \rightarrow R$ एक अवकलनीय फलन है,इस प्रकार कि $f^{\prime}(1) = \lim_{a \rightarrow \infty} a^2 f\left(\frac{1}{a}\right)$ है। तब $\lim_{a \rightarrow \infty} \left[ \frac{a(a+1)}{2} \tan^{-1}\left(\frac{1}{a}\right) + a^2 - 2 \log_e a \right]$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $f: R \to R$ एक अवकलनीय फलन है जहाँ $f(2) = 6$ और $f'(2) = \frac{1}{48}$ है। तो $\lim_{x \to 2} \int_{6}^{f(x)} \frac{4t^3}{x - 2} dt$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि $f:(-2,2) \rightarrow \mathbb{R}$ को $f(x) = \begin{cases} x[x] & , -2 < x < 0 \\ (x-1)[x] & , 0 \leq x < 2 \end{cases}$ द्वारा परिभाषित किया गया है,जहाँ $[x]$ महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है। यदि $m$ और $n$ क्रमशः $(-2,2)$ में उन बिंदुओं की संख्या हैं जहाँ $y = |f(x)|$ असंतत और अवकलनीय नहीं है,तो $m + n$ का मान $...........$ है।

मान लीजिए $f: R \rightarrow (0, \infty)$ और $g: R \rightarrow R$ दो बार अवकलनीय फलन हैं,इस प्रकार कि $f^{\prime \prime}$ और $g^{\prime \prime}$ $R$ पर सतत फलन हैं। मान लीजिए $f^{\prime}(2) = g(2) = 0$,$f^{\prime \prime}(2) \neq 0$ और $g^{\prime}(2) \neq 0$ है। यदि $\lim_{x \rightarrow 2} \frac{f(x) g(x)}{f^{\prime}(x) g^{\prime}(x)} = 1$ है,तो: