मान लीजिए 2^{1-a} + 2^{1+a}, f(a), 3^a + 3^{- | vedclass

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Question

(B) दिया गया है कि $2^{1-a} + 2^{1+a}$, $f(a)$, और $3^a + 3^{-a}$ $A$.$P$. में हैं, इसलिए $2f(a) = (2^{1-a} + 2^{1+a}) + (3^a + 3^{-a})$ है।$AM$-$GM$

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$\frac{1}{4}\log_e\left(\frac{4}{3}\right)$

Vedclass · Answer

(B) दिया गया है कि $2^{1-a} + 2^{1+a}$, $f(a)$, और $3^a + 3^{-a}$ $A$.$P$. में हैं, इसलिए $2f(a) = (2^{1-a} + 2^{1+a}) + (3^a + 3^{-a})$ है।$AM$-$GM$ असमिका का उपयोग करते हुए, $2^{1-a} + 2^{1+a} = 2(2^{-a} + 2^a) \geq 2(2) = 4$ और $3^a + 3^{-a} \geq 2$ है। दोनों $a=0$ पर अपना न्यूनतम मान प्राप्त करते हैं।अतः, $f(a)$ का न्यूनतम मान $\alpha = \frac{1}{2}(4 + 2) = 3$ है।समाकल $I = \int_{\log_e(2)}^{\log_e(3)} \frac{dx}{e^{2x} - e^{-2x}} = \int_{\log_e(2)}^{\log_e(3)} \frac{e^{2x} dx}{e^{4x} - 1}$ हो जाता है।मान लीजिए $t = e^{2x}$, तो $dt = 2e^{2x} dx$, इसलिए $e^{2x} dx = \frac{dt}{2}$ है।जब $x = \log_e(2)$, तब $t = e^{2\log_e(2)} = 4$ है। जब $x = \log_e(3)$, तब $t = e^{2\log_e(3)} = 9$ है।$I = \frac{1}{2} \int_{4}^{9} \frac{dt}{t^2 - 1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} [\log_e|\frac{t-1}{t+1}|]_{4}^{9} = \frac{1}{4} [\log_e(\frac{8}{10}) - \log_e(\frac{3}{5})] = \frac{1}{4} \log_e(\frac{8/10}{3/5}) = \frac{1}{4} \log_e(\frac{4}{3})$.

मान लीजिए $2^{1-a} + 2^{1+a}$, $f(a)$, $3^a + 3^{-a}$ $A$.$P$. में हैं और $\alpha$ $f(a)$ का न्यूनतम मान है। तो समाकल $\int_{\log_e(\alpha-1)}^{\log_e(\alpha)} \frac{dx}{e^{2x} - e^{-2x}}$ का मान है:

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$\int_{1}^{2} \frac{\cos(\log x)}{x} \, dx = $

समाकल $\int_0^{\frac{1}{2}} \frac{1+\sqrt{3}}{\left((x+1)^2(1-x)^6\right)^{\frac{1}{4}}} d x$ का मान . . . . . . . . है।

$\int_{\frac{2}{e}}^{\frac{1}{e}} \frac{1}{x(\log x)^{\frac{1}{3}}} dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int\limits_0^{\ln 5} \frac{e^x \sqrt{e^x - 1}}{e^x + 3} dx = $

$\int_{-1}^{1} 5 x^{4} \sqrt{x^{5}+1} d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

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