ધારો કે 2^{1-a} + 2^{1+a}, f(a), 3^a + 3^{-a} | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપેલ છે કે $2^{1-a} + 2^{1+a}$, $f(a)$, અને $3^a + 3^{-a}$ એ $A$.$P$. માં છે, તેથી $2f(a) = (2^{1-a} + 2^{1+a}) + (3^a + 3^{-a})$.$AM$-$GM$ અસમતાન

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{1}{4}\log_e\left(\frac{4}{3}\right)$

Vedclass · Answer

(B) આપેલ છે કે $2^{1-a} + 2^{1+a}$, $f(a)$, અને $3^a + 3^{-a}$ એ $A$.$P$. માં છે, તેથી $2f(a) = (2^{1-a} + 2^{1+a}) + (3^a + 3^{-a})$.$AM$-$GM$ અસમતાનો ઉપયોગ કરતા, $2^{1-a} + 2^{1+a} = 2(2^{-a} + 2^a) \geq 2(2) = 4$ અને $3^a + 3^{-a} \geq 2$. બંને $a=0$ પર તેમની ન્યૂનતમ કિંમત પ્રાપ્ત કરે છે.તેથી, $f(a)$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $\alpha = \frac{1}{2}(4 + 2) = 3$ છે.સંકલન $I = \int_{\log_e(2)}^{\log_e(3)} \frac{dx}{e^{2x} - e^{-2x}} = \int_{\log_e(2)}^{\log_e(3)} \frac{e^{2x} dx}{e^{4x} - 1}$ બને છે.ધારો કે $t = e^{2x}$, તો $dt = 2e^{2x} dx$, તેથી $e^{2x} dx = \frac{dt}{2}$.જ્યારે $x = \log_e(2)$, ત્યારે $t = e^{2\log_e(2)} = 4$. જ્યારે $x = \log_e(3)$, ત્યારે $t = e^{2\log_e(3)} = 9$.$I = \frac{1}{2} \int_{4}^{9} \frac{dt}{t^2 - 1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} [\log_e|\frac{t-1}{t+1}|]_{4}^{9} = \frac{1}{4} [\log_e(\frac{8}{10}) - \log_e(\frac{3}{5})] = \frac{1}{4} \log_e(\frac{8/10}{3/5}) = \frac{1}{4} \log_e(\frac{4}{3})$.

Similar Questions

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{1+\cos ^2 x} dx$ નું મૂલ્ય શોધો.

$\int_0^{\pi / 4} \frac{\sec x}{3 \cos x+4 \sin x} d x=$

$\int_1^e \frac{1 + \log x}{x} \, dx = $

$\int_0^{\pi / 2} e^{\sin x} \cdot \cos x \, dx =$

$\int_{\frac{1}{3}}^1 \frac{(x-x^3)^{\frac{1}{3}}}{x^4} dx = $ . . . . . . .

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module