मान लीजिए कि f(x) दूसरे घात का एक बहुपद फलन ह | vedclass

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Question

(A) मान लीजिए कि बहुपद फलन $f(x) = ax^2 + bx + c$ है।तब,अवकलज $f'(x) = 2ax + b$ है।दिया गया है कि $f(1) = f(-1)$,इसलिए $a(1)^2 + b(1) + c = a(-1)^2 +

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$A.P.$

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(A) मान लीजिए कि बहुपद फलन $f(x) = ax^2 + bx + c$ है।तब,अवकलज $f'(x) = 2ax + b$ है।दिया गया है कि $f(1) = f(-1)$,इसलिए $a(1)^2 + b(1) + c = a(-1)^2 + b(-1) + c$ है।इसे सरल करने पर $a + b + c = a - b + c$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $2b = 0$,यानी $b = 0$ है।अतः,$f'(x) = 2ax$ है।अब,$a_1, a_2, a_3$ पर अवकलज का मान ज्ञात करने पर: $f'(a_1) = 2aa_1$,$f'(a_2) = 2aa_2$,और $f'(a_3) = 2aa_3$ प्राप्त होता है।चूंकि $a_1, a_2, a_3$ $A.P.$ में हैं,इसलिए एक सार्व अंतर $d$ के लिए $a_2 = a_1 + d$ और $a_3 = a_1 + 2d$ है।तब $f'(a_2) - f'(a_1) = 2aa_2 - 2aa_1 = 2a(a_2 - a_1) = 2ad$ और $f'(a_3) - f'(a_2) = 2aa_3 - 2aa_2 = 2a(a_3 - a_2) = 2ad$ है।चूंकि क्रमिक पदों के बीच का अंतर स्थिर $(2ad)$ है,इसलिए अनुक्रम $f'(a_1), f'(a_2), f'(a_3)$ $A.P.$ में है।

मान लीजिए कि $f(x)$ दूसरे घात का एक बहुपद फलन है। यदि $f(1) = f(-1)$ और $a_1, a_2, a_3$ $A.P.$ में हैं,तो $f'(a_1), f'(a_2), f'(a_3)$ किसमें होंगे?

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$y = (1-x)(2-x)(3-x) \dots (n-x)$ का $x=1$ पर अवकलज . . . . . . है।

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