ધારો કે f(x) એક વિકલનીય વિધેય છે જે તમામ x | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ વિધેય સમીકરણ $f(xy) = f(x) + f(y)$ છે.$x=1, y=1$ મૂકતા,આપણને $f(1) = f(1) + f(1)$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $f(1) = 0$.વિકલનની વ્યાખ્યા મુજબ:$f'

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{f'(1)}{x}$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ વિધેય સમીકરણ $f(xy) = f(x) + f(y)$ છે.$x=1, y=1$ મૂકતા,આપણને $f(1) = f(1) + f(1)$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $f(1) = 0$.વિકલનની વ્યાખ્યા મુજબ:$f'(x) = \lim_{h 	o 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$ગુણધર્મ $f(xy) = f(x) + f(y)$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે $f(x+h) = f(x(1 + \frac{h}{x})) = f(x) + f(1 + \frac{h}{x})$ લખી શકીએ છીએ.આ કિંમતને લક્ષમાં મૂકતા:$f'(x) = \lim_{h 	o 0} \frac{f(x) + f(1 + \frac{h}{x}) - f(x)}{h}$$f'(x) = \lim_{h 	o 0} \frac{f(1 + \frac{h}{x})}{h}$કારણ કે $f(1) = 0$,આપણે $f(1 + \frac{h}{x}) = f(1 + \frac{h}{x}) - f(1)$ લખી શકીએ છીએ.ધારો કે $t = \frac{h}{x}$. જેમ $h 	o 0$,તેમ $t 	o 0$.$f'(x) = \lim_{t 	o 0} \frac{f(1+t) - f(1)}{xt} = \frac{1}{x} \lim_{t 	o 0} \frac{f(1+t) - f(1)}{t}$$x=1$ આગળ વિકલનની વ્યાખ્યા મુજબ,$\lim_{t 	o 0} \frac{f(1+t) - f(1)}{t} = f'(1)$.તેથી,$f'(x) = \frac{f'(1)}{x}$.

ધારો કે $f(x)$ એક વિકલનીય વિધેય છે જે તમામ $x > 0, y > 0$ માટે સમીકરણ $f(xy) = f(x) + f(y)$ નું પાલન કરે છે,તો $f'(x)$ બરાબર શું થાય?

Similar Questions

જો $f: R \setminus \{0\} \rightarrow R$ એવું હોય કે $2 f(x) + f\left(\frac{1}{x}\right) = 4x$ અને $S = \{x \in R : f(x) = f(-x)\}$, તો $S$ માં ઘટકોની સંખ્યા કેટલી છે?

$f: R \rightarrow R$ એક વિધેય છે જેથી $f(0)=1$ અને તમામ $x, y \in R$ માટે $f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2$ થાય છે. તો $x=e$ આગળ $\frac{df}{dx}$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $f$ એક એવું વિધેય છે કે જેથી $f(x) + 3f\left(\frac{24}{x}\right) = 4x$,જ્યાં $x \neq 0$. તો $f(3) + f(8)$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module