मान लीजिए f(x) एक अवकलनीय फलन है जो सभी x 0 | vedclass

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Question

(A) दिया गया फलन समीकरण $f(xy) = f(x) + f(y)$ है।$x=1, y=1$ रखने पर,हमें $f(1) = f(1) + f(1)$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $f(1) = 0$.अवकलज की परिभाष

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$\frac{f'(1)}{x}$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया फलन समीकरण $f(xy) = f(x) + f(y)$ है।$x=1, y=1$ रखने पर,हमें $f(1) = f(1) + f(1)$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $f(1) = 0$.अवकलज की परिभाषा के अनुसार:$f'(x) = \lim_{h 	o 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$गुणधर्म $f(xy) = f(x) + f(y)$ का उपयोग करके,हम $f(x+h) = f(x(1 + \frac{h}{x})) = f(x) + f(1 + \frac{h}{x})$ लिख सकते हैं।इस मान को सीमा में प्रतिस्थापित करने पर:$f'(x) = \lim_{h 	o 0} \frac{f(x) + f(1 + \frac{h}{x}) - f(x)}{h}$$f'(x) = \lim_{h 	o 0} \frac{f(1 + \frac{h}{x})}{h}$चूंकि $f(1) = 0$,हम $f(1 + \frac{h}{x}) = f(1 + \frac{h}{x}) - f(1)$ लिख सकते हैं।मान लीजिए $t = \frac{h}{x}$। जैसे $h 	o 0$,वैसे ही $t 	o 0$।$f'(x) = \lim_{t 	o 0} \frac{f(1+t) - f(1)}{xt} = \frac{1}{x} \lim_{t 	o 0} \frac{f(1+t) - f(1)}{t}$$x=1$ पर अवकलज की परिभाषा के अनुसार,$\lim_{t 	o 0} \frac{f(1+t) - f(1)}{t} = f'(1)$।अतः,$f'(x) = \frac{f'(1)}{x}$।

मान लीजिए $f(x)$ एक अवकलनीय फलन है जो सभी $x > 0, y > 0$ के लिए समीकरण $f(xy) = f(x) + f(y)$ को संतुष्ट करता है,तो $f'(x)$ किसके बराबर है?

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$f: R \rightarrow R$ एक फलन इस प्रकार है कि $f(0)=1$ और सभी $x, y \in R$ के लिए $f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2$ है। तो $x=e$ पर $\frac{df}{dx}$ का मान ज्ञात कीजिए।

ऐसे कितने बाइजेक्शन (एकैकी और आच्छादक फलन) $f: Z \rightarrow Z$ हैं कि सभी $x, y \in Z$ के लिए $f(x+y)=f(x)+f(y)$ हो?

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