ધારો કે એક વક્ર y=y(x) એ વિકલ સમીકરણ cos left | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\cos \left(\frac{1}{2} \cos ^{-1}\left(e^{-x}\right)\right) d x=\sqrt{e^{2 x}-1} \,d y$. ધારો કે $\cos ^{-1}\left(e^{-x}\right)

Vedclass · Accepted Answer

$2$

Vedclass · Answer

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\cos \left(\frac{1}{2} \cos ^{-1}\left(e^{-x}ight)ight) d x=\sqrt{e^{2 x}-1} \,d y$. ધારો કે $\cos ^{-1}\left(e^{-x}ight)=	heta$,જ્યાં $	heta \in[0, \pi]$. તેથી $\cos 	heta = e^{-x}$. નિત્યસમ $\cos 	heta = 2 \cos^2 \frac{	heta}{2} - 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$2 \cos^2 \frac{	heta}{2} = 1 + e^{-x} = \frac{e^x + 1}{e^x}$. આમ,$\cos \frac{	heta}{2} = \sqrt{\frac{e^x + 1}{2e^x}}$. આ કિંમત વિકલ સમીકરણમાં મૂકતા: $\sqrt{\frac{e^x + 1}{2e^x}} dx = \sqrt{e^{2x} - 1} dy$. કારણ કે $\sqrt{e^{2x} - 1} = \sqrt{(e^x - 1)(e^x + 1)}$,આપણને મળે $\sqrt{\frac{e^x + 1}{2e^x}} dx = \sqrt{e^x - 1} \sqrt{e^x + 1} dy$. $\sqrt{e^x + 1}$ વડે ભાગતા: $\frac{1}{\sqrt{2e^x}} dx = \sqrt{e^x - 1} dy$,જેનું સાદું રૂપ $\frac{dx}{\sqrt{2} \sqrt{e^x(e^x - 1)}} = dy$ થાય. ધારો કે $e^x = t$,તો $e^x dx = dt \Rightarrow dx = \frac{dt}{t}$. તેથી,$\int \frac{dt}{\sqrt{2} t \sqrt{t(t-1)}} = \int dy$. ધારો કે $t = \frac{1}{z}$,તો $dt = -\frac{1}{z^2} dz$. કિંમત મૂકતા: $\int \frac{-dz/z^2}{\sqrt{2} (1/z) \sqrt{1/z^2 - 1/z}} = \int dy \Rightarrow -\int \frac{dz}{\sqrt{2} \sqrt{1-z}} = y + C$. સંકલન કરતા: $\sqrt{2} \sqrt{1-z} = y + C \Rightarrow \sqrt{2} \sqrt{1 - e^{-x}} = y + C$. $x=0, y=-1$ માટે: $\sqrt{2} \sqrt{1 - 1} = -1 + C \Rightarrow C = 1$. તેથી,$\sqrt{2} \sqrt{1 - e^{-x}} = y + 1$. $x$-અક્ષ પરના છેદબિંદુ $(\alpha, 0)$ માટે,$y=0$ મૂકતા: $\sqrt{2} \sqrt{1 - e^{-\alpha}} = 1$. બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $2(1 - e^{-\alpha}) = 1 \Rightarrow 1 - e^{-\alpha} = \frac{1}{2} \Rightarrow e^{-\alpha} = \frac{1}{2}$. તેથી,$e^{\alpha} = 2$.

Similar Questions

ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતા વક્રનું સમીકરણ શોધો,જો તેના કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ પર દોરેલા સ્પર્શકનો ઢાળ $\cos (x + y) + \sin (x + y)$ હોય.

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} - e^x = y e^x$ નો વિશિષ્ટ ઉકેલ,જ્યારે $x = 0$ અને $y = 1$ હોય ત્યારે શું મળે?

વિકલ સમીકરણ $x \frac{dy}{dx} - y = 0$ નો ઉકેલ . . . . . . છે.

$y' = 1 + x + y^2 + xy^2$,$y(0) = 0$ નો ઉકેલ શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module